Question

【題目】已知，如圖拋物線y＝ax2＋3ax＋c(a>0)與y軸交于點C，與x軸交于A， B兩點，點A在點B左側．點B的坐標為(1,0)，OC＝3OB.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，過點D做x軸的垂線，交AC于點E,求線段DE的最大值.

（3）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）y＝x2＋x－3；（2）3；（3）四邊形ABCD面積有最大值.

【解析】試題分析：（1）已知了B點坐標，易求得OB、OC的長，進而可將B、C的坐標代入拋物線中，求出待定系數的值，即可得出拋物線的解析式．

（2）根據A、C的坐標，易求得直線AC的解析式．可過D作x軸的垂線，交AC于E，x軸于F；易得△ADC的面積是DE與OA積的一半，可設出F點的坐標，分別代入直線AC和拋物線的解析式中，即可求出DE的長；

（3）由四邊形ABCD的面積與F點橫坐標間的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出四邊形ABCD的最大面積；由于AB、OC都是定值，則△ABC的面積不變，若四邊形ABCD面積最大，則△ADC的面積最大.

試題解析：（1）∵B(1，0)，

∴OB=1；

∵OC=3BO，

∴C(0,3)；

∵y=ax2+3ax+c過B(1,0)、C(0,3)，

∴；

解這個方程組，得，

∴拋物線的解析式為：y＝x2＋x－3；

（2）如圖：

∵A(－4，0)，C(0，－3)，

設直線AC的解析式為y＝kx＋b，

代入求得：y＝－x－3，

令D（x， x2＋x－3），E（x，－ x－3），

則DE＝－x－3－x2＋x－3＝－ (x＋2)2＋3.

∴當x＝－2時，DE有最大值3；

（3）S四邊形span>ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝＋·DE·(AF＋OF)＝＋2DE，

∴當DE取最大值3時，四邊形ABCD面積有最大值.