Question

【題目】如圖，等腰△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=120°，點D在線段AB上運動（不與A、B重合），將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ．

（1）證明：CP=CQ；

（2）求∠PCQ的度數；

（3）當點D是AB中點時，請直接寫出△PDQ是何種三角形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠PCQ=120°；（3）△PDQ是等邊三角形.

【解析】

(1)由折疊直接得到結論；

(2)由折疊的性質求出∠ACP+∠BCQ=120°，再用周角的意義求出∠PCQ=120°；

(3)先判斷出△APD是等邊三角形，△BDQ是等邊三角形，再求出∠PDQ=60°，即可．

(1)∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，

∴CP=CD=CQ；

(2)∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，

∴∠ACP=∠ACD，∠BCQ=∠BCD，

∴∠ACP+∠BCQ=∠ACD+∠BCD=∠ACB=120°，

∴∠PCQ=360°-(∠ACP+BCQ+∠ACB)=360°-(120°+120°)=120°；

(3)△PDQ是等邊三角形．

理由：∵將△CAD與△CBD分別沿直線CA、CB翻折得到△CAP與△CBQ，

∴AD=AP，∠DAC=∠PAC，

∵∠DAC=30°，

∴∠PAD=60°，

∴△APD是等邊三角形，

∴PD=AD，∠ADP=60°，

同理：△BDQ是等邊三角形，

∴DQ=BD，∠BDQ=60°，

∴∠PDQ=60°，

∵當點D在AB的中點，

∴AD=BD，

∴PD=DQ，

∴△DPQ是等邊三角形