Question

【題目】如圖1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直線AC折疊，使點B落在點E處，AE交CD于點F，連接DE．

（1）求證：△DEC≌△EDA；

（2）求DF的值；

（3）如圖2，若P為線段EC上一動點，過點P作△AEC的內接矩形，使其頂點Q落在線段AE上，定點M、N落在線段AC上，當線段PE的長為何值時，矩形PQMN的面積最大？并求出其最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）DF=．（3） PE=時，矩形PQMN的面積最大，最大面積為3．

【解析】試題分析：（1）由矩形和翻折的性質可知AD=CE，DC=EA，根據“SSS”可求得△DEC≌△EDA；

（2）根據勾股定理即可求得．

（3）由矩形PQMN的性質得PQ∥CA，所以，從而求得PQ，由PN∥EG，得出，求得PN，然后根據矩形的面積公式求得解析式，即可求得．

試題解析：（1）由矩形和翻折的性質可知：AD=CE，DC=EA，

在△ADE與△CED中，

∴△DEC≌△EDA（SSS）；

（2）如圖1，

∵∠ACD=∠BAC，∠BAC=∠CAE，

∴∠ACD=∠CAE，

∴AF=CF，

設DF=x，則AF=CF=4-x，

在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，

即32+x2=（4-x）2，

解得：x=，

即DF=．

（3）如圖2，

由矩形PQMN的性質得PQ∥CA

∴

又∵CE=3，AC==5

設PE=x（0＜x＜3），則，即PQ=x

過E作EG⊥AC于G，則PN∥EG，

∴

又∵在Rt△AEC中，EGAC=AECE，解得EG=，

∴=，即PN=（3-x），

設矩形PQMN的面積為S，

則S=PQPN=-x2+4x=-（x-）2+3（0＜x＜3）

所以當x=，即PE=時，矩形PQMN的面積最大，最大面積為3．