Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，點D是AB上一點，以BD為直徑的⊙O和AB相切于點P．

（1）求證：BP平分∠ABC；
（2）若PC=1，AP=3，求BC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OP，

∵AC是⊙O的切線，

∴OP⊥AC，BC⊥AC，

∴OP∥BC，

∴∠OPB=∠PBC，

∵OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP，

∴∠PBC=∠OBP，

∴BP平分∠ABC

（2）作PH⊥AB于H．

∵PB平分∠ABC，PC⊥BC，PH⊥AB，

∴PC=PH=1，

在Rt△APH中，AH= =2 ，

∵∠A=∠A，∠AHP=∠C=90°，

∴△APH∽△ABC，

∴ = ，

∴ = ，

∴AB=3 ，

∴BH=AB﹣AH= ，

在Rt△PBC和Rt△PBH中，

，

∴Rt△PBC≌Rt△PBH，

∴BC=BH= ．

【解析】（1） 根據切線的性質易證OP∥BC，由平行線的性質定理得∠OPB=∠PBC，由等邊對等角得∠OPB=∠OBP，進而∠PBC=∠OBP，即BP平分∠ABC；（2） 作PH⊥AB于H． 由角平分線的性質定理得PC=PH=1，在Rt△APH中由勾股定理得AH得長 度，進而判斷出△APH∽△ABC，再由相似三角形的對應邊成比例得出AB的長，進而得出BH的長，再證出Rt△PBC≌Rt△PBH，由全等三角形對應邊成比例就可以得出結論。
【考點精析】掌握角平分線的性質定理和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．