Question

【題目】在中，若是的角平分線，點和點分別在和上，且，垂足為，，垂足為（如圖），則可以得到以下兩個結論：

①；②．

那么在中，仍然有條件“是的角平分線，點和點，分別在和上”，請探究以下兩個問題：

若（如圖），則與是否仍相等？若仍相等，請證明；否則請舉出反例．

若，則是否成立？（只寫出結論，不證明）

Answer 1

【答案】（1）理由見解析，（2）不一定成立，理由見解析

【解析】

（1）過點D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得DM=DN，再根據∠AED+∠AFD=180°，平角的定義得∠AFD+∠DFN=180°，可以推出∠DFN=∠AED，然后利用角角邊定理證明△DME與△DNF全等，根據全等三角形對應邊相等即可證明；

（2）不一定成立，若DE、DF在點D到角的兩邊的垂線段上或垂線段與點A的兩側，則成立，若是同側則不成立．

．

理由如下：

過點作于，于，

∵平分，，，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴；

不一定成立．

如圖，若、在點到角的兩邊的垂線段與頂點的同側則一定不成立，

經過的證明，若在垂線段上或兩側則成立，

所以不一定成立．