Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=45°，AB=4cm．點P從點A出發，以2cm/s的速度沿邊AB向終點B運動．過點P作PQ⊥AB交折線ACB于點Q，D為PQ中點，以DQ為邊向右側作正方形DEFQ．設正方形DEFQ與△ABC重疊部分圖形的面積是y（cm2），點P的運動時間為x（s）．

（1）當點Q在邊AC上時，正方形DEFQ的邊長為 cm（用含x的代數式表示）；

（2）當點P不與點B重合時，求點F落在邊BC上時x的值；

（3）當0＜x＜2時，求y關于x的函數解析式；

（4）直接寫出邊BC的中點落在正方形DEFQ內部時x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）x；（2）x=；（3）見解析；（4）1＜x＜．

【解析】試題（1）由已知條件得到∠AQP=45°，求得PQ=AP=2x，由于D為PQ中點，于是得到DQ=x；

（2）如圖①，延長FE交AB于G，由題意得AP=2x，由于D為PQ中點，得到DQ=x，求得GP=2x，列方程于是得到結論；

（3）如圖②，當0＜x≤時，根據正方形的面積公式得到y=x2；如圖③，當＜x≤1時，過C作CH⊥AB于H，交FQ于K，則CH=AB=2，根據正方形和三角形面積公式得到y=﹣x2+20x﹣8；如圖④，當1＜x＜2時，PQ=4﹣2x，根據三角形的面積公式得到結論；

（4）當Q與C重合時，E為BC的中點，得到x=1，當Q為BC的中點時，BQ=，得到x=，于是得到結論．

試題解析：（1）∵∠ACB=90°，∠A=45°，PQ⊥AB，

∴∠AQP=45°，

∴PQ=AP=2x，

∵D為PQ中點，

∴DQ=x，

（2）如圖①，延長FE交AB于G，由題意得AP=2x，

∵D為PQ中點，

∴DQ=x，

∴GP=2x，

∴2x+x+2x=4，

∴x=；

（3）如圖②，當0＜x≤時，y=S正方形DEFQ=DQ2=x2，

∴y=x2；

如圖③，當＜x≤1時，過C作CH⊥AB于H，交FQ于K，則CH=AB=2，

∵PQ=AP=2x，CK=2﹣2x，

∴MQ=2CK=4﹣4x，FM=x﹣（4﹣4x）=5x﹣4，

∴y=S正方形DEFQ﹣S△MNF=DQ2﹣FM2，

∴y=x2﹣（5x﹣4）2=﹣x2+20x﹣8，

∴y=﹣x2+20x﹣8；

如圖④，當1＜x＜2時，PQ=4﹣2x，

∴DQ=2﹣x，

∴y=S△DEQ=DQ2，

∴y=（2﹣x）2，

∴y=x2﹣2x+2；

（4）當Q與C重合時，E為BC的中點，

即2x=2，

∴x=1，

當Q為BC的中點時，BQ=，

PB=1，

∴AP=3，

∴2x=3，

∴x=，

∴邊BC的中點落在正方形DEFQ內部時x的取值范圍為：1＜x＜．