Question

【題目】綜合與實(shí)踐：折紙中的數(shù)學(xué)

問題背景

在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師首先將平行四邊形紙片ABCD按如圖①所示方式折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落到D′處，折痕為EF．這時(shí)同學(xué)們很快證得：△AEF是等腰三角形．接下來各學(xué)習(xí)小組也動(dòng)手操作起來，請(qǐng)你解決他們提出的問題．

操作發(fā)現(xiàn)

(1) “爭(zhēng)先”小組將矩形紙片ABCD按上述方式折疊，如圖②，發(fā)現(xiàn)重疊部分△AEF恰好是等邊三角形，求矩形ABCD的長(zhǎng)、寬之比是多少？

實(shí)踐探究

(2)“勵(lì)志”小組將矩形紙片ABCD沿EF折疊，如圖③，使B點(diǎn)落在AD邊上的B′處；沿B′G折疊，使D點(diǎn)落在D′處，且B′D′過F點(diǎn)．試探究四邊形EFGB′是什么特殊四邊形？

(3)再探究：在圖③中連接BB′，試判斷并證明△BB′G的形狀．

Answer 1

【答案】（1）矩形ABCD的長(zhǎng)、寬之比為；（2）四邊形EFGB′是平行四邊形，理由詳見解析；（3）△BB′G為直角三角形，理由詳見解析．

【解析】

（1）矩形的長(zhǎng)、寬之比應(yīng)是．設(shè)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出，，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可得出，，結(jié)合邊與邊之間的關(guān)系即可得出；

（2）四邊形是平行四邊形．根據(jù)矩形的性質(zhì)可得出，從而得出相等的內(nèi)錯(cuò)角“，，”，再由翻折的性質(zhì)可得出，，由此即可得出，從而找出，由兩組對(duì)邊互相平行即可證出四邊形是平行四邊形；

（3）△為直角三角形．連接交于點(diǎn)，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出，由翻折的性質(zhì)可得出，從而可得出，再由等腰三角形的性質(zhì)可得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得出，由此即可證出△為直角三角形．

解：（1）矩形的長(zhǎng)、寬之比應(yīng)是．

證明：設(shè)，

等邊三角形，

，

四邊形為矩形，

，．

在中，，，，

，，

，

，

．

（2）四邊形是平行四邊形．

證明：四邊形為矩形，

，

，，．

由翻折的特性可知：，，

，，

又，

，

，

又，

四邊形是平行四邊形．

（3）△為直角三角形．

證明：連接交于點(diǎn)，如圖所示．

，

，

，

，

．

，

△為等腰三角形，

，

．

，

，

△為直角三角形．