Question

【題目】如圖，等邊△ABC中，點D在延長線上，CE平分∠ACD，且CE=BD．說明：△ADE是等邊三角形．

Answer 1

【答案】詳見解析.

【解析】試題分析：

要證△ADE為等邊三角形，可以先證它為等腰三角形，再證該等腰三角形的一個內角為60°. 綜合分析已知條件可知，可以利用△ABD和△ACE全等證明AD=AE. 根據已知條件和等邊三角形的性質，不難證明∠B=∠ACE，進而利用SAS證明△ABD和△ACE全等. 利用全等三角形的性質可以得到△ADE是等腰三角形. 利用全等三角形的性質，通過相關角之間的和差關系，不難證明∠DAE=∠BAC=60°，從而證明△ADE為等邊三角形.

試題解析：

證明：∵△ABC為等邊三角形，

∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC.

∵∠ACB=60°，

∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°，

∵CE平分∠ACD，

∴.

∴∠B=∠ACE.

∵在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE (SAS)，

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE.

∵∠BAD=∠CAE，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

∴∠BAC=∠DAE=60°.

∵∠DAE=60°，AD=AE，

∴△ADE為等邊三角形.