Question

【題目】定義：經過三角形的一個頂點的線段把三角形分成兩個小三角形，如果其中一個三角形是等腰三角形，另外一個三角形和原三角形的三個內角分別相等，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”．例如如圖1：等腰直角三角形斜邊上的中線就是一條“和諧分割線”．

（1）判斷（對的打“√”，錯的打“×”）

①等邊三角形不存在“和諧分割線”　 　

②如果三角形中有一個角是另一個角的兩倍，則這個三角形必存在“和諧分割線”　 　

（2）如圖2，Rt△ABC，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，請畫出“和諧分割線”，并計算“和諧分割線”的長度；

（3）如圖3，線段CD是△ABC的“和諧分割線”，∠A=42°，求∠B的度數．

Answer 1

【答案】（1）√，√；（2）；（3）∠B的值為54°或27°或46°或32°．

【解析】

（1）根據“和諧分割線”的定義即可判斷；

（2）如圖作∠CAB的平分線，只要證明線段AD是“和諧分割線”即可；

（3）分四種情形討論即可；

解：（1）①等邊三角形不存在“和諧分割線”，正確；

②如果三角形中有一個角是另一個角的兩倍，則這個三角形必存在“和諧分割線”，正確，

故答案為：√，√；

（2）如圖作∠CAB的平分線，

∵∠C=90°，∠B=30°，

∴∠DAB=∠B=30°，

∴DA=DB，

∴△ADB是等腰三角形，且△ACD∽△BCA，

∴線段AD是△ABC的“和諧分割線”，

（3）如圖3中，分四種情形：

①當AD=DC，△BCD∽△BAC時，可得∠ADC=180°﹣42°﹣42°=96°，∠BCD=∠A=42°，

∵∠ADC=∠BCD+∠B，

∴∠B=54°．

②當AC=AD，△BCD∽△BAC時，同法可得∠B=27°．

③當DC=DB，△ACD∽△ABC時，可得∠B=46°．

④當BC=BD，△ACD∽△ABC時，可得∠B=32°．

綜上所述，滿足條件的∠B的值為54°或27°或46°或32°．