Question

【題目】當值相同時，我們把正比例函數與反比例函數 叫做“關聯函數”，可以通過圖象研究“關聯函數”的性質．小明根據學習函數的經驗，先以與為例對“關聯函數”進行了探究．下面是小明的探究過程，請你將它補充完整．

（1）如圖，在同一坐標系中畫出這兩個函數的圖象．設這兩個函數圖象的交點分別為，，則點 的坐標為，點的坐標為_______；

（2）點是函數在第一象限內的圖象上一個動點（點不與點重合），設點的坐標為，其中且．

①結論：作直線，分別與軸交于點，，則在點運動的過程中，總有．

證明：設直線的解析式為，將點和點的坐標代入，得

解得 則直線的解析式為．

令 ，可得，則點的坐標為．

同理可求，直線的解析式為，點的坐標為________．

請你繼續完成證明的后續過程：

②結論：設的面積為，則是的函數．請你直接寫出與的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）（2，1）；（2）① ；；②當 時，；當 時，．

【解析】

（1）聯立方程組求解即可得出結論；

（2）①利用待定系數法求出直線PA的解析式，再利用待定系數法求出直線PB的解析式即可求出點D坐標，進而判斷出PM是CD的垂直平分線，即可得出結論；

②分兩種情況利用面積的和差即可得出結論．

（1）∵y=x①與y=②，

聯立①②解得，或（是A的縱橫坐標），

∴B（2，1）

故答案為：（2，1）；

（2）① ；；

后續證明：如圖，過點 作 軸于點 ，

則點的橫坐標為 ．

，，

．

為 的中點．

垂直平分 ．

．

②當 時，；

當 時，．