Question

【題目】如圖①，拋物線y＝﹣x2+x+4與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D為線段AC的中點，直線BD與拋物線交于另一點E，與y軸交于點F．

（1）求直線BD的解析式；

（2）如圖②，點P是直線BE上方拋物線上一動點，連接PD，PF，當△PDF的面積最大時，在線段BE上找一點G，使得PG﹣GE的值最小，求出點G的坐標及PG﹣GE的最小值；

（3）將拋物線沿直線AC平移，點A，C平移后的對應點為A′，C'．在平面內有一動點H，當以點B，A'，C'，H為頂點的四邊形為平行四邊形時，在直線AC上方找一個滿足條件的點H，與直線AC下方所有滿足條件的點H為頂點的多邊形為軸對稱圖形時，求出點A′的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+1；（2）點G（，），最小值為；（3）（3，1）、（+1，3﹣）、（1﹣，3+）、（5+，﹣﹣1）、（5﹣，﹣1）．

【解析】

（1）令-x2+x+4=0，可求出點A和點B的坐標，令x=0，可求出點C的坐標，再根據點D時AC的中點，可求出點D的坐標，利用待定系數法求直線解析式即可．（2）求三角形的面積最值可以轉化為求線段長度的最大值，利用點坐標表示線段長度，配方求最值，求PG-GE的最小值，可將不共線的線段轉換為共線的線段長度．（3）理解題意利用軸對稱圖形就是找等腰三角形，再分情況討論即可．

解：（1）令﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，

∴B（﹣2，0），A（4，0），

令x＝0，y＝4，

∴C（0，4），

∵D為AC的中點，

∴D（2，2），

設直線BD的解析式為y＝kx+b（k≠0），代入點B和點D，

，

解得，

∴直線BD的解析式為y＝x+1．

（2）如圖所示

過點P作y軸的平行線，交BE交于點H，

設點P的坐標為（t，﹣t2+t+4），

則點H為（t， t+1），

∴PH＝﹣t2+t+4﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+，

當t＝時，PH最大，此時點P為（，），

當PH最大時，△PDF的面積也最大．

∵直線BD的解析式為y＝x+1，

令x＝0，y＝1，∴點F（0，1），

在Rt△BFO中，根據勾股定理，BF＝，

∴sin∠FBO＝

過點E作x軸的平行線與過點G作y軸的平行線交于點M，

∴∠MEG＝∠FBO，

∴MG＝EGsin∠MEG＝EG，

∴PG﹣GE＝PG﹣MG，

當P、M、G三點共線時，PG﹣MG＝PM，否則都大于PM，

∴當P、M、G三點共線時，PG﹣MG最小，此時點G與點H重合，

令﹣x2+x+4＝x+1，

解得x1＝3，x2＝﹣2，

∴點E（3，），

∴PM＝﹣＝，

∴點G（，），

∴點G（，），PG﹣GE的最小值為．

（3）如圖所示，

當以點B，A'，C'，H為頂點的四邊形為平行四邊形時，

在直線AC下方的點H只有兩個，點H1和點H2，

過點B作AC的平行線交y軸于點G，∴G（0，﹣2）

∵點A（4，0），點C（0，4），

∴AC＝4，

∴BH1＝BH2＝4，

∵∠CAO＝45°，

∴H1（﹣6，4），H2（2，﹣4），

在y軸上截取點E，使EC＝CG，則點E（0，10），

過點E作AC的平行線，則在直線AC上方的點H一定在這條平行線上，

當△H1H2H3為等腰三角形時即為軸對稱圖形，

①當H1H3＝H2H3時，

直線EH3的解析式為y＝﹣x+10，

設H3（m，﹣m+10），

H1H3＝，

H2H3＝，

解得m＝4，∴H3（4，6），

∴A′（3，1）．

②當H1H3＝H1H2時，

∵H1H3＝，H1H2＝8，

解得m1＝2，m2＝﹣2，此時點H3（2，10﹣2）或（﹣2，10+2），

∴A′（+1，3﹣）或（1﹣，3+）．

③當H2H3＝H1H2時，

∵H2H3＝，H1H2＝8，

解得m1＝8+2，m2＝8﹣2，此時點H3（8+2，2﹣2）或（8﹣2，2+2），

∴A′（5+，﹣﹣1）或（5﹣，﹣1）．

綜上所述，點A′的坐標為（3，1）、（+1，3﹣）、（1﹣，3+）、（5+，﹣﹣1）、（5﹣，﹣1）．