Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線過點，,與軸交于點．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若點在拋物線的對稱軸上，當的周長最小時，求點 的坐標;

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點,使成為以為直角邊的直角三角形？若存在,求出點的坐標；若不存在,請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)y=；(2)(，)；(3)，.

【解析】

試題分析：(1)利用待定系數法求出函數解析式；(2)首先求出對稱軸，求出點A關于對稱軸對稱的點E的坐標，連接CE交對稱軸與點D，則△ACD的周長最小，根據題意求出直線CE的解析式，然后得出點D的坐標；(3)分成以A為直角頂點和以C為直角頂點兩種情況分別進行計算，得出點P的坐標.

試題解析：(1)、∵拋物線過點，，

∴∴∴拋物線的函數關系式為.

(2)、∵，∴拋物線的對稱軸為直線.

設點為點關于直線的對稱點，則點的坐標為.

連接交直線于點，此時的周長最小.

設直線的函數表達式為，代入的坐標，

則解得所以，直線的函數表達式為.

當時，.∴ 點的坐標為.

(3)、存在.

①當點為直角頂點時，過點作的垂線交軸于點，交對稱軸于點.

∵，，

∴.

∵，，∴.

∴.

∴.∴.

∴點的坐標為.

設直線對應的一次函數的表達式為，代入的坐標，

則解得

所以，直線的函數表達式為.令，則.∴點的坐標為.

②當點為直角頂點時，過點作的垂線交對稱軸于點，交軸于點.

與①同理可得是等腰直角三角形，∴.

∴點的坐標為.∵，，

∴.

∴直線的函數表達式為.

令，則.∴點的坐標為.

綜上，在對稱軸上存在點，，使成為以為直角邊的直角三角形．