Question

【題目】如圖，已知 AD 與 BC 相交于 E ，1 2 3, BD CD, ADB 90, CH AB于 H ， CH 交 AD 于 F 。

（1）求證： CD∥ AB ；

（2）求證： BDE ≌ ACE ；

（3）若O 為 AB 中點，求證：OF= BE 。

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

（1）有BD=CD,可得∠1=∠BCD,那么就有∠2=∠BCD,從而CD∥AB;

（2）由∠2=∠3,可得BE=AE,又因為CD∥AB,同樣可知DE=CE,根據SAS即可證出：△BDE≌△ACE;

（3）由于O是AB的中點,因此只需證得AF=EF即可得出OF是△ABE的中位線,進而可得出OF=BE．根據（2）的全等三角形,可得出∠ACE=90°,因此可通過證CF是直角三角形ACE斜邊上的中線,來得出AF=EF．

證明：（1）∵BD=CD,

∴∠BCD=∠1;

∵∠1=∠2,

∴∠BCD=∠2;

∴CD∥AB．

（2）∵CD∥AB,

∴∠CDA=∠3．

∵∠BCD=∠2=∠3,

∴BE=AE,且∠CDA=∠BCD,

∴DE=CE．

在△BDE和△ACE中,

,

∴△BDE≌△ACE（SAS）;

（3）∵△BDE≌△ACE,

∴∠4=∠1,∠ACE=∠BDE=90°,

∴∠ACH=90°-∠BCH;

又∵CH⊥AB,

∴∠2=90°-∠BCH;

∴∠ACH=∠2=∠1=∠4,

∴AF=CF;

∵∠AEC=90°-∠4,∠ECF=90°-∠ACH,

又∵∠ACH=∠4,

∴∠AEC=∠ECF;

∴CF=EF;

∴EF=AF;

∵O為AB中點,

∴OF為△ABE的中位線,

∴OF=BE．