Question

【題目】如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點M，N分別是斜邊AB，DE的中點，點P為AD的中點，連接AE、BD、MN．
（1）求證：△PMN為等腰直角三角形；
（2）現將圖①中的△CDE繞著點C順時針旋轉α（0°＜α＜90°），得到圖②，AE與MP，BD分別交于點G、H，請判斷①中的結論是否成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．

在△ACE和△BCD中， ，

∴△ACE≌△BCD（SAS），

∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，

∵∠CBD+∠BDC=90°，

∴∠EAC+∠BDC=90°，

∵點M、N分別是斜邊AB、DE的中點，點P為AD的中點，

∴PM= BD，PN= AE，

∴PM=PM，

∵PM∥BD，PN∥AE，

∴∠NPD=∠EAC，∠MPA=∠BDC，

∵∠EAC+∠BDC=90°，

∴∠MPA+∠NPC=90°，

∴∠MPN=90°，

即PM⊥PN，

∴△PMN為等腰直角三角形

（2）解：①中的結論成立，

理由：設AE與BC交于點O，如圖②所示：

∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，

∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．

在△ACE和△BCD中， ，

∴△ACE≌△BCD（SAS）

∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．

∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，

∴∠BHO=∠ACO=90°，

∴AE⊥BD，

∵點P、M、N分別為AD、AB、DE的中點，

∴PM= BD，PM∥BD，PN= AE，PN∥AE，

∴PM=PN．

∵AE⊥BD，

∴PM⊥PN，

∴△PMN為等腰直角三角形．

【解析】（1）由等腰直角三角形的性質易證△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根據三角形中位線定理即可得到PM=PN，由平行線的性質可得PM⊥PN，于是得到結論；（2）（1）中的結論仍舊成立，由（1）中的證明思路即可證明．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等腰直角三角形(等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°)，還要掌握旋轉的性質(①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了)的相關知識才是答題的關鍵．