Question

【題目】如圖，等腰三角形ABC中，AC=BC=10，AB=12．

（1）動手操作：利用尺規作以BC為直徑的⊙O，⊙O交AB于點D，⊙O交AC于點E，并且過點D作DF⊥AC交AC于點F．

（2）求證：直線DF是⊙O的切線；

（3）連接DE，記△ADE的面積為S1，四邊形DECB的面積為S2，求的值．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析；（3）=．

【解析】試題分析：（1）根據題意作出圖形即可；

（2）連接OD，根據等腰三角形的性質得到∠A=∠ODB根據平行線的判定得到OD∥AC，由平行線的性質得到∠ODF=∠AFD=90°，于是得到結論；

（3）連接DE；根據圓周角定理得到∠CDB=90°，即CD⊥AB，由等腰三角形的性質得到AD=BD=AB=6，根據圓內接四邊形的性質得到∠BDE+∠C=180°，等量代換得到∠C=∠ADE，根據相似三角形的性質得到，于是得到結論．

試題解析：（1）如圖所示，圖形為所求；

（2）連接OD

∵DF⊥AC，∴∠AFD=90°，

∵AC=BC∴∠A=∠B，

∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠A=∠ODB∴OD∥AC，

∴∠ODF=∠AFD=90°，∴直線DF是⊙O的切線；

（3）連接DE；

∵BC是⊙O的直徑，∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，

∵AC=BC，CD⊥AB，∴AD=BD=AB=6，

∵四邊形DECB是圓內接四邊形，∴∠BDE+∠C=180°，

∵∠BDE+∠ADE=180°，∴∠C=∠ADE，

∵在△ADE和△ACB中，∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，

∴△ADE∽△ACB，∴，∴，

∵S△ABC=S△ADE+S四邊形DECB，∴ ，

∴，即=．