Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為3，E，F 分別是AB，BC邊上的點，且∠EDF=45°.將△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DCM.

（1）求證：EF=FM；

（2）當AE=1時，求EF的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】試題分析：（1）由旋轉的性質可知，DE=DM，∠EDM=90°，因為∠EDF=45°，所以∠FDM=∠EDM=45°，通過證明△DEF≌△DMF得到EF=MF；

（2）設EF=MF=x，則BF=4-x，BE=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得到關于x的等式，解得x的值即可．

試題解析：（1）證明：∵△DAE逆時針旋轉90°得到△DCM，

∴DE=DM，∠EDM=90°，

∴∠EDF+∠FDM=90°，

∵∠EDF=45°，

∴∠FDM=∠EDM=45°，

在△DEF和△DMF中，

DE=DM，∠EDF=∠MDF，DF=DF，

∴△DEF≌△DMF（SAS），

∴EF=MF；

（2）設EF=MF=x， ∵AE=CM=1，且BC=3，

∴BM=BC+CM=3+1=4，

∴BF=BM-MF=BM-EF=4-x，

∵EB=AB-AE=3-1=2，

在Rt△EBF中，由勾股定理得EB+BF=EF， 即2+（4-x）=x，

解得：x=， 則EF=．