Question

【題目】如圖，拋物線L：與x軸交于A、B（3，0）兩點（A在B的左側），與y軸交于點C（0，3），已知對稱軸x=1．

（1）求拋物線L的解析式；

（2）將拋物線L向下平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OBC內（包括△OBC的邊界），求h的取值范圍；

（3）設點P是拋物線L上任一點，點Q在直線l：x=﹣3上，△PBQ能否成為以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若能，求出符合條件的點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2≤h≤4；（3）P（1，4）或（0，3）或（，）或（，）．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式即可；

（2）先求出直線BC解析式為y=﹣x+3，再求出拋物線頂點坐標，得出當x=1時，y=2；結合拋物線頂點坐即可得出結果；

（3）設P（m，），Q（﹣3，n），（3）設P（m，），Q（﹣3，n）．分兩種情況討論：①當P點在x軸上方時，過P點作PM垂直于y軸，交y軸與M點，過B點作BN垂直于MP的延長線于N點，可證明△PQM≌△BPN（AAS），得到PM=BN，由PM=BN=，根據B點坐標可得PN=3﹣m，且PM+PN=6，得到，解方程即可．

②當P點在x軸下方時，過P點作PM垂直于l于M點，過B點作BN垂直于MP的延長線與N點，同理可得△PQM≌△BPN，得到PM=BN， PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=，則，解方程即可．

試題解析：（1）∵拋物線的對稱軸x=1，B（3，0），∴A（﹣1，0）．

∵拋物線過點C（0，3），∴當x=0時，c=3．

又∵拋物線過點A（﹣1，0），B（3，0），∴，∴，∴拋物線的解析式為：；

（2）∵C（0，3），B（3，0），∴直線BC解析式為y=﹣x+3，∵=，∴頂點坐標為（1，4）

∵對于直線BC：y=﹣x+1，當x=1時，y=2；將拋物線L向下平移h個單位長度，∴當h=2時，拋物線頂點落在BC上；

當h=4時，拋物線頂點落在OB上，∴將拋物線L向下平移h個單位長度，使平移后所得拋物線的頂點落在△OBC內（包括△OBC的邊界），則2≤h≤4；

（3）設P（m，），Q（﹣3，n）．分兩種情況討論：

①當P點在x軸上方時，過P點作PM垂直于y軸，交y軸與M點，過B點作BN垂直于MP的延長線于N點，如圖所示，∵B（3，0），∵△PBQ是以點P為直角頂點的等腰直角三角形，∴∠BPQ=90°，BP=PQ，則∠PMQ=∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP，在△PQM和△BPN中，∵∠PMQ=∠BNP，∠MPQ=∠BNP，PQ=BP，∴△PQM≌△BPN（AAS），∴PM=BN，∵PM=BN=，根據B點坐標可得PN=3﹣m，且PM+PN=6，∴，解得：m=1或m=0，∴P（1，4）或P（0，3）．

②當P點在x軸下方時，過P點作PM垂直于l于M點，過B點作BN垂直于MP的延長線與N點，同理可得△PQM≌△BPN，∴PM=BN，∴PM=6﹣（3﹣m）=3+m，BN=，則，解得m=或，∴P（，）或（，）．

綜上可得，符合條件的點P的坐標是（1，4），（0，3），（，）和（，）．