Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB于點E，交AC于點F，過點O作OD⊥AC于點D，下列四個結論：

①EF＝BE＋CF；

②∠BOC＝90°＋∠A；

③點O到△ABC各邊的距離相等；

④設OD＝m，AE＋AF＝n，則S△AEF＝mn.

其中正確的結論是( )

A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④

Answer 1

【答案】A

【解析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，根據角平分線的定義與三角形內角和定理，即可求得②∠BOC=90°+∠A正確；由平行線的性質和角平分線的定義得出△BEO和△CFO是等腰三角形得出EF=BE+CF故①正確；由角平分線的性質得出點O到△ABC各邊的距離相等，故③正確；由角平分線定理與三角形面積的求解方法，即可求得③設OD=m，AE+AF=n，則S△AEF=mn，故④錯誤．

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠OBC+∠OCB=90°-∠A，

∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A；故②正確；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，

∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，

∵EF∥BC，

∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，

∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，

∴BE=OE，CF=OF，

∴EF=OE+OF=BE+CF，

故①正確；

過點O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，

∴ON=OD=OM=m，

∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AEOM+AFOD=OD（AE+AF）=mn；故④錯誤；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，

∴點O到△ABC各邊的距離相等，故③正確．

故選：A．