Question

【題目】在△ABC中，已知D為直線BC上一點，若∠ABC=x°，∠BAD=y°．

（1）若CD=CA=AB，請求出y與x的等量關系式；

（2）當D為邊BC上一點，并且CD=CA，x=40，y=30時，則AB AC（填“=”或“≠”）；

（3）如果把（2）中的條件“CD=CA”變為“CD=AB”，且x，y的取值不變，那么（1）中的結論是否仍成立？若成立請寫出證明過程，若不成立請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3x+2y=180；（2）=；（3）成立．理由見解析

【解析】

試題分析：（1）由CD=CA，可表示出∠ADC的度數，又由三角形外角的性質，可得∠ADC=∠B+∠BAD，則可得方程：90﹣x=x+y，繼而求得答案；

（2）由CD=CA，x=40，y=30，首先可求得∠ADC的度數，繼而證得CD=CA，則可求得∠C=∠B=40°，證得AB=AC；

（3）首先在BC上取點E，使BE=CD=AB，連接AE，易證得AD=AE，繼而可得△ADB≌△AEC（SAS），則可證得結論．

解：（1）∵∠ABC=x°，CA=AB，

∴∠C=∠ABC=x°，

∵CD=CA，

∴∠ADC=∠CAD==90°﹣x°，

∵∠ADC=∠B+∠BAD，

∴90﹣x=x+y，

即：3x+2y=180；

（2）∵CD=CA，∠ABC=x°=40°，∠BAD=y°=30°，

∴∠ADC=∠ABC+∠BAD=70°，

∵CD=CA，

∴∠CAD=∠CDA=70°，

∴∠C=40°，

∴∠C=∠ABC，

∴AB=AC；

故答案為：=；

（3）成立．

理由：在BC上取點E，使BE=CD=AB，連接AE，

則∠AEB=∠EAB=（180°﹣40°）=70°，

∴∠AEB=∠ADE=70°，

∴AD=AE，

∴∠ADB=∠AEC=180°﹣70°=110°，

∵BD=BE﹣DE，CE=CD﹣DE，

∴BD=EC，

在△ADB和△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴AB=AC．