Question

【題目】我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊．

(1)如圖，已知格點(小正方形的頂點)：、、，若為格點，請直接畫出所有以、為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形；

(2)如圖，將繞頂點按順時針方向旋轉，得到，連結、，，求證：，即四邊形是勾股四邊形；

(3)如圖，在四邊形中，為等邊三角形，，，，求長．

Answer 1

【答案】（1）見解析 （2）見解析 （3）10

【解析】

（1）利用勾股定理計算畫出即可.

（2）首先證明△ABC≌△BDC，得出AC=DE，BC=BE，連接CE，進一步得出△BCE為等邊三角形；利用等邊三角形的性質，進一步得出△DCE是直角三角形，即可解答．

（3）將△ABC逆時針旋轉60°，即可得出上△ADE為直角三角形，再根據勾股定理求出ED的值即可解答.

（1）如圖1

（2）如圖2，連接EC.

根據旋轉的性質知△ABC≌△BDC，則BC=BD，AC=DE.

又∠CBE=60°

△CBE是等邊三角形

∠BCE=60°，BD=DE

∠DCB=30°

∠BCE+∠DCB=90°即∠DCE=90°

，即四邊形ABCD是勾股四邊形.

（3）如圖示，將△ABC逆時針旋轉60°，使C，與D點重合，得到△EBD，

則有：AB=AE，AC=ED，∠ABE=60，

∴△ABE為等邊三角形，

∠DAE=∠DAB+∠BAE=30°+60°=90°

△DAE為直角三角形

即：

故AC=10.