Question

【題目】如圖①，直線y=x+4交于x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，過(guò)A、C兩點(diǎn)的拋物線F1交x軸于另一點(diǎn)B（1，0）．

（1）求拋物線F1所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)M是拋物線F1位于第二象限圖象上的一點(diǎn)，設(shè)四邊形MAOC和△BOC的面積分別為S四邊形MAOC和S△BOC，記S=S四邊形MAOC﹣S△BOC，求S最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及S的最大值；

（3）如圖②，將拋物線F1沿y軸翻折并“復(fù)制”得到拋物線F2，點(diǎn)A、B與（2）中所求的點(diǎn)M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′、M′，過(guò)點(diǎn)M′作M′E⊥x軸于點(diǎn)E，交直線A′C于點(diǎn)D，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得以A′、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△AB′C相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)y=﹣x2﹣x+4;(2)S有最大值為，此時(shí)，M（﹣，5）；點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）或（﹣，0）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x+4可求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，再把A、B、C的坐標(biāo)代入，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式；（2）由于M在拋物線F1上，所以可設(shè)M（a，﹣a2﹣a+4），分別計(jì)算S四邊形MAOC和S△BOC，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，則S四邊形MAOC的值等于△ADM的面積與梯形DOCM的面積之和，求得S四邊形MAOC的值，再由S=S四邊形MAOC﹣S△BOC表示出S與a的二次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得S最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及S的最大值；（3）由于不確定點(diǎn)P的具體位置，所以需要將點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論，當(dāng)點(diǎn)P在A′的右邊時(shí)，此情況是不存在；當(dāng)點(diǎn)P在A′的左邊時(shí)，此時(shí)∠DA′P=∠CAB′，若以A′、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△AB′C相似，則分為以下兩種情況進(jìn)行討論：①；②，分別求得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.

試題解析：（1）令y=0代入y=x+4，

∴x=﹣3，

A（﹣3，0），

令x=0，代入y=x+4，

∴y=4，

∴C（0，4），

設(shè)拋物線F1的解析式為：y=a（x+3）（x﹣1），

把C（0，4）代入上式得，a=﹣，

∴y=﹣x2﹣x+4，

（2）如圖①，設(shè)點(diǎn)M（a，﹣a2﹣a+4）

其中﹣3＜a＜0

∵B（1，0），C（0，4），

∴OB=1，OC=4

∴S△BOC=OBOC=2，

過(guò)點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，

∴MD=﹣a2﹣a+4，AD=a+3，OD=﹣a，

∴S四邊形MAOC=ADMD+（MD+OC）OD

=ADMD+ODMD+ODOC

=+

=+

=×3（﹣a2﹣a+4）+×4×（﹣a）

=﹣2a2﹣6a+6

∴S=S四邊形MAOC﹣S△BOC

=（﹣2a2﹣6a+6）﹣2

=﹣2a2﹣6a+4

=﹣2（a+）2+

∴當(dāng)a=﹣時(shí)，

S有最大值，最大值為

此時(shí)，M（﹣，5）；

（3）如圖②，由題意知：M′（），B′（﹣1，0），A′（3，0）

∴AB′=2

設(shè)直線A′C的解析式為：y=kx+b，

把A′（3，0）和C（0，4）代入y=kx+b，

得：，

∴

∴y=﹣x+4，

令x=代入y=﹣x+4，

∴y=2

∴

由勾股定理分別可求得：AC=5，DA′=

設(shè)P（m，0）

當(dāng)m＜3時(shí)，

此時(shí)點(diǎn)P在A′的左邊，

∴∠DA′P=∠CAB′，

當(dāng)=時(shí)，△DA′P∽△CAB′，

此時(shí)， =（3﹣m），

解得：m=2，

∴P（2，0）

當(dāng)=時(shí)，△DA′P∽△B′AC，

此時(shí)， =（3﹣m）

m=﹣，

∴P（﹣，0）

當(dāng)m＞3時(shí)，

此時(shí)，點(diǎn)P在A′右邊，

由于∠CB′O≠∠DA′E，

∴∠AB′C≠∠DA′P

∴此情況，△DA′P與△B′AC不能相似，

綜上所述，當(dāng)以A′、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△AB′C相似時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）或（﹣，0）．