Question

【題目】如圖1，已知∠AOB＝120°，∠COD＝60°，OM在∠AOC內，ON在∠BOD內，∠AOM＝∠AOC，∠BON＝∠BOD．

（1）∠COD從圖1中的位置繞點O逆時針旋轉到OC與OB重合時，如圖2，∠MON＝ °；

（2）∠COD從圖2中的位置繞點O逆時針旋轉n°（0＜n＜120且n≠60），求∠MON的度數；

（3）∠COD從圖2中的位置繞點O逆時針旋轉n°（0＜n＜120），則n＝ 時，∠MON＝2∠BOC．

Answer 1

【答案】（1）100°；（2）100°；（3）50或70．

【解析】試題分析：（1）由∠MON=∠AOB+∠COD代入即可得到結論；

（2）分兩種情況討論：①當0＜n＜60°時，∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°－n，∠BOD=60°－n，由∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON，代入即可得到結論；

②當60°＜n＜120°時，∠AOC=120°－n，∠COD=60°，∠BOD=n-60°，∠MOC=∠AOC，∠DON=∠BOD，由∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON，代入即可得到結論．

（3）分兩種情況討論：①當0＜n＜60°時，∠BOC=n，∠MON=2n，由∠MON=（120°+n）+60°-（60°+n）=100°，解方程即可得到結論；

②當60°＜n＜120°時，∠AOC=360°-（120°+n）=240°－n，∠BOD=60°+n，由∠MON=360°－∠AOM－∠AOB－∠BON=360°－（240°-n）－120°－（60°+n）=140°，解方程即可得到結論．

試題解析：解：（1）∠MON=∠AOB+∠COD=100°；

（2）①當0＜n＜60°時，∠AOC=∠AOB-∠BOC=120°－n，∠BOD=60°－n，∴∠MON=∠MOC+∠COB+∠BON=∠AOC+n+∠BOD=（120°-n）+n+（60°－n）=100°；

②當60°＜n＜120°時，∠AOC=120°－n，∠COD=60°，∠BOD=n-60°，∠MOC=∠AOC，∠DON=∠BOD，∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=（120°-n）+60°+（n-60°）=100°．

綜上所述：∠MON的度數恒為100°．

（3）①當0＜n＜60°時，∠BOC=n，∠MON=2n，∴∠MON=（120°+n）+60°-（60°+n）=100°；解得：n=50°；

②當60°＜n＜120°時，∠AOC=360°-（120°+n）=240°－n，∠BOD=60°+n，∴∠MON=360°－∠AOM－∠AOB－∠BON=360°－（240°-n）－120°－（60°+n）=140°，解得：n=70°．

綜上所述：n=50°或70°．