Question

【題目】（1）解方程：；

（2）已知關于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分別為△ABC三邊的長．

①如果x＝－1是方程的根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；

②如果方程有兩個相等的實數根，試判斷△ABC的形狀，并說明理由；

③如果△ABC是等邊三角形，試求這個一元二次方程的根．

Answer 1

【答案】（1） ;(2)①等腰三角形;②直角三角形;③

【解析】試題分析：（1）先移項，再用因式分解法求解即可；

（2）①直接將x=-1代入得出關于a，b的等式，進而得出a=b，即可判斷△ABC的形狀；
②利用根的判別式進而得出關于a，b，c的等式，進而判斷△ABC的形狀；
③利用△ABC是等邊三角形，則a=b=c，進而代入方程求出即可．

試題解析：（1）移項，得
（3-x）2-2x（3-x）=0，
（3-x）（3-x-2x）=0，
∴3-x=0或3-3x=0，
∴x1=3，x2=1；

（2）①△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=-1是方程的根，
∴（a+c）×（-1）2-2b+（a-c）=0，
∴a+c-2b+a-c=0，
∴a-b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；
②∵方程有兩個相等的實數根，
∴（2b）2-4（a+c）（a-c）=0，
∴4b2-4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
③當△ABC是等邊三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a-c）=0，可整理為：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=-1．