Question

【題目】如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，∠CDA=∠CBD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，若AB=6，tan∠CDA= ，依題意補全圖形并求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連OD，OE，如圖1所示，

∵AB為直徑，

∴∠ADB=90°，

即∠ADO+∠BDO=90°，

又∵∠CDA=∠CBD，

而∠CBD=∠BDO，

∴∠BDO=∠CDA，

∴∠CDA+∠ADO=90°，

即∠CDO=90°，

∴CD⊥OD，

∴CD是⊙O的切線

（2）解：如圖2所示：

∵EB為⊙O的切線，

∴ED=EB，OE⊥DB，

∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，

∴∠ABD=∠OEB，

∴∠CDA=∠OEB．

而tan∠CDA= ，

∴tan∠OEB= = ，

∵Rt△CDO∽Rt△CBE，

∴ = ，

∴CD= ×6=4，

在Rt△CBE中，設BE=x，

∴（x+4）2=x2+62，

解得：x= ．

即BE的長為 ，

∴DE=BE= ．

【解析】（1）連OD，OE.由AB為直徑可得出∠ADO+∠BDO=90°，再根據圓周角定理和已知可得到∠CDA+∠ADO=90°，進而可證出結論；
（2）由切線的性質和已知可得到∠CDA=∠OEB，進而可得，再由Rt△CDO∽Rt△CBE可求出CD的長，在Rt△CBE中利用勾股定理可求出BE的長，即可得到DE的長.
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的性質和銳角三角函數的定義的相關知識點，需要掌握對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形；銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數才能正確解答此題．