Question

【題目】如圖所示，△ABC中，D是BC邊上一點，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF=BD，連接BF．

（1）求證：D是BC的中點；

（2）若AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形AFBD是矩形．

【解析】

試題分析：（1）根據兩直線平行，內錯角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角邊”證明△AEF和△DEC全等；

（2）由（1）知AF平行等于BD，易證四邊形AFBD是平行四邊形，而AB=AC，AD是中線，利用等腰三角形三線合一定理，可證AD⊥BC，即∠ADB=90°，那么可證四邊形AFBD是矩形．

試題解析：（1）∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵點E為AD的中點，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，∵∠AFE=∠DCE，∠AEF=∠DEC，AE=DE，∴△AEF≌△DEC（AAS）；

（2）若AB=AC，則四邊形AFBD是矩形．理由如下：

∵△AEF≌△DEC，∴AF=CD，∵AF=BD，∴CD=BD；

∵AF∥BD，AF=BD，∴四邊形AFBD是平行四邊形，∵AB=AC，BD=CD，∴∠ADB=90°，∴平行四邊形AFBD是矩形．