Question

【題目】對任意一個正整數m，如果m=k（k+1），其中k是正整數，則稱m為“矩數”，k 為m的最佳拆分點．例如，56=7×（7+1），則56是一個“矩數”，7為56的最佳拆分點．

（1）求證：若“矩數”m是3的倍數，則m一定是6的倍數；

（2）把“矩數”p與“矩數”q的差記為 D（p，q），其中p＞q，D（p，q）＞0．例如，20=4×5，6=2×3，則 D（20，6）=20﹣6=14．若“矩數”p的最佳拆分點為t，“矩數”q的最佳拆分點為s，當 D（p，q）=30時，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）最大值是.

【解析】試題分析：（1）當k為奇數時,k+1是偶數,則k(k+1)是能被3整除的偶數,故k(k+1)是6的倍數；當k為偶數時,則k(k+1)是能被3整除的偶數,故k(k+1)是6的倍數，
（2）根據題意得p=t(t+1),q=s(s+1),D(p,q)=t(t+1)s(s+1)=30，即分解因式得到(ts)(t+s+1)=30，根據30=1×30=2×15=3×10=5×6，得到方程組求得或或或于是得到結論．

試題解析：(1)若“矩數”m=k(k+1)是3的倍數,則k(k+1)是3的倍數，k是正整數，

當k為奇數時,k+1是偶數,則k(k+1)是能被3整除的偶數,故k(k+1)是6的倍數；

當k為偶數時,則k(k+1)是能被3整除的偶數,故k(k+1)是6的倍數，

綜上所述，若“矩數”m是3的倍數，則m一定是6的倍數；

(2)根據題意得p=t(t+1),q=s(s+1),D(p,q)=t(t+1)s(s+1)=30，

即

∴(ts)(t+s+1)=30，

∵t，s是正整數，t>s，

∴ts，t+s+1是正整數，且t+s+1>ts，

∵30=1×30=2×15=3×10=5×6，

∴或或或

解得： 或或或

∵t，s是正整數，

∴符合條件的是： 或或，

∴或或

∵

∴的最大值是.