Question

【題目】如圖，長方形紙片ABCD中，AB＝8，將紙片折疊，折痕的一個端點F在邊AD上，另一個端點G在邊BC上，頂點B的對應點為E．

（1）如圖（1），當頂點B的對應點E落在邊AD上時．

①連接BF，試判斷四邊形BGEF是怎樣的特殊四邊形，并說明理由；

②若BG＝10，求折痕FG的長；

（2）如圖（2），當頂點B的對應點E落在長方形內部，E到AD的距離為2，且BG＝10時，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）①菱形；②4；（2）

【解析】

(1)①先證明四邊形BGEF是平行四邊形，再根據BG＝EG，即可證得四邊形BGEF是菱形；

②如圖，過F作FH⊥BC于H，先證明四邊形ABHF是矩形，可得FH＝AB＝8，再由四邊形BGEF是菱形，可得BF＝BG＝10，在Rt△BHF中，利用勾股定理求出BH長，繼而求得HG長，在Rt△FHG中，利用勾股定理即可求得FG長；

(2)設EH與AD相交于點K，過點E作MN∥CD分別交AD、BC于M、N，然后求出EM、EN，在Rt△ENG中，利用勾股定理列式求出GN，再根據△GEN和△EKM相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出EK、KM，再求出KH，然后根據△FKH和△EKM相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可．

(1)①四邊形BGEF是菱形，理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，BH∥EG，

∴四邊形BGEF是平行四邊形；

由折疊知，BG＝EG，

∴四邊形BGEF是菱形；

②如圖，過F作FH⊥BC于H，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠ABC＝∠BHF＝90°，

∴四邊形ABHF是矩形，

∴FH＝AB＝8，

由①知，四邊形BGEF是菱形，

∴BF＝BG＝10，

在Rt△BHF中，根據勾股定理得，BH＝6，

∴HG＝BG﹣BH＝4，

在Rt△FHG中，根據勾股定理得，FG＝＝4；

(2)如圖，設EH與AD相交于點K，過點E作MN∥CD分別交AD、BC于M、N，

∵E到AD的距離為2，

∴EM＝2，EN＝8﹣2＝6，

在Rt△ENG中，GN＝＝8，

∵∠GEN+∠KEM＝180°﹣∠GEH＝180°﹣90°＝90°，

∠GEN+∠NGE＝180°﹣90°＝90°，

∴∠KEM＝∠NGE，

又∵∠ENG＝∠KME＝90°，

∴△GEN∽△EKM，

∴，

即，

解得EK＝，KM＝，

∴KH＝EH﹣EK＝8﹣＝，

∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，

∴△FKH∽△EKM，

∴，

即，

解得FH＝，

∴AF＝FH＝．