Question

【題目】己知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE，點(diǎn)F在DE上CF=CD，過點(diǎn)F作FG⊥FC交AD于點(diǎn)G.

（1）求證：GF=GD；

（2）聯(lián)結(jié)AF，求證：AF⊥DE.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】分析：根據(jù)等角的余角相等得到即可證明.

聯(lián)結(jié)CG.證明△DAE≌△CDG,得到.進(jìn)而得到，根據(jù)等邊對等角得到根據(jù)三角形的內(nèi)角和可以求出∠AFD= 90°，即可證明.

詳解：∵四邊形是正方形，∴,

∵FG⊥FC， ∴∠GFC= 90°,

∵ ∴∠CDF=∠CFD ,

∴∠GFC-∠CFD=∠ADC-∠CDE，即∠GFD=∠GDF.

∴GF=GD.

聯(lián)結(jié)CG.

∵ ∴點(diǎn)在線段的中垂線上,

∴GC⊥DE，

∴∠CDF+∠DCG= 90°，

∵∠CDF+∠ADE= 90°，

∴∠DCG=∠ADE.

四邊形是正方形,

∴AD=DC，∠DAE=∠CDG= 90°，

∴△DAE≌△CDG,

∴.

點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，

點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，

∴,

∴

∵

∴

∴∠AFD= 90°，即AF⊥DE.