Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6．P是底邊BC上的一個動點（P與B、C不重合），以P為圓心，PB為半徑的⊙P與射線BA交于點D，射線PD交射線CA于點E．

（1）若點E在線段CA的延長線上，設BP=x，AE=y，求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍．
（2）當BP=2 時，試說明射線CA與⊙P是否相切．
（3）連接PA，若S△APE= S△ABC ， 求BP的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：過A作AF⊥BC于F，過P作PH⊥AB于H，

∵∠BAC=120°，AB=AC=6，

∴∠B=∠C=30°，

∵PB=PD，

∴∠PDB=∠B=30°，CF=ACcos30°=6× =3 ，

∴∠ADE=30°，

∴∠DAE=∠CPE=60°，

∴∠CEP=90°，

∴CE=AC+AE=6+y，

∴PC= = ，

∵BC=6 ，

∴PB+CP=x+ =6 ，

∴y=﹣ x+3，

∵BD=2BH= x＜6，

∴x＜2 ，

∴x的取值范圍是0＜x＜2

（2）解：∵BP=2 ，∴CP=4 ，

∴PE= PC=2 =PB，

∴射線CA與⊙P相切

（3）解：當D點在線段BA上時，

連接AP，

∵S△ABC= BCAF= ×6 ×3=9 ，

∵S△APE= AEPE= y ×（6+y）= S△ABC= ，

解得：y= ，代入y=﹣ x+3得x=4 ﹣ ．

當D點BA延長線上時，

PC= EC= （6﹣y），

∴PB+CP=x+ （6﹣y）=6 ，

∴y= x﹣3，

∵∠PEC=90°，

∴PE= = = （6﹣y），

∴S△APE= AEPE= x= y （6﹣y）= S△ABC= ，

解得y= 或 ，代入y= x﹣3得x=3 或5 ．

綜上可得，BP的長為4 ﹣ 或3 或5 ．

【解析】（1）過A作AF⊥BC于F，過P作PH⊥AB于H，根據等腰三角形的性質得到CF=ACcos30°=6× =3 ，推出∠CEP=90°，求得CE=AC+AE=6+y，列方程PB+CP=x+ =6 ，于是得到y=﹣ x+3，根據BD=2BH= x＜6，即可得到結論；（2）根據已知條件得到PE= PC=2 =PB，于是得到射線CA與⊙P相切；（3）D在線段BA上和延長線上兩種情況，根據三角形的面積列方程即可得到結果．本題考查了直線與圓的位置關系，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，三角形面積的計算，求一次函數的解析式，證得PE⊥AC是解題的關鍵．