Question

【題目】如圖，對稱軸為直線的拋物線與x軸相交于A、B兩點，其中A點的坐標為（－3，0）。

（1）求點B的坐標；

（2）已知，C為拋物線與y軸的交點。

①若點P在拋物線上，且，求點P的坐標；

②設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值。

Answer 1

【答案】解：（1）∵A、B兩點關于對稱軸對稱 ，且A點的坐標為（－3，0），

∴點B的坐標為（1，0）。

（2）①∵拋物線，對稱軸為，經過點A（－3，0），

∴，解得。

∴拋物線的解析式為。

∴B點的坐標為（0，－3）。∴OB=1，OC=3。∴。

設點P的坐標為，則。

∵，∴，解得。

當時，；當時，，

∴點P的坐標為（2，5）或（－2，－3）。

②設直線AC的解析式為，將點A，C的坐標代入，得：

，解得：。

∴直線AC的解析式為。

∵點Q在線段AC上，∴設點Q的坐標為。

又∵QD⊥x軸交拋物線于點D，∴點D的坐標為。

∴。

∵，∴線段QD長度的最大值為。

【解析】（1）由拋物線的對稱性直接得點B的坐標。

（2）①用待定系數法求出拋物線的解析式，從而可得點C的坐標，得到，設出點P 的坐標，根據列式求解即可求得點P的坐標。

②用待定系數法求出直線AC的解析式，由點Q在線段AC上，可設點Q的坐標為，從而由QD⊥x軸交拋物線于點D，得點D的坐標為，從而線段QD等于兩點縱坐標之差，列出函數關系式應用二次函數最值原理求解。