Question

（6分）如圖，AD為⊙O的直徑，作⊙O的內接等邊三角形ABC.黃皓、李明兩位同學的作法分別是：

黃皓：1. 作OD的垂直平分線，交⊙O于B，C兩點，
2. 連結AB，AC，△ABC即為所求的三角形.
李明：1. 以D為圓心，OD長為半徑作圓弧，交⊙O于B，C兩點，
2. 連結AB，BC，CA，△ABC即為所求的三角形.
已知兩位同學的作法均正確，請選擇其中一種作法補全圖形，并證明△ABC是等邊三角形.

Answer 1

△ABC是等邊三角形，

試題分析：由兩同學的做法不同，一個根據三角形性質求得，另一個根據兩圓的知識求得，但得到的三角形都為等邊三角形。解：我選擇黃皓的作法.
如圖畫圖正確.        2分；

證明：連結OB、OC.
∵AD為⊙O的直徑，BC是半徑OD的垂直平分線，
∴AB=AC，BD=CD,
，    3分；
∴.          4分；
在Rt△OEC中，
∴ cos，
∴，    5分；
∴.
∴.
∴△ABC是等邊三角形.     6分.
我選擇李明的作法.
如圖畫圖正確.        2分；
證明：連結DB、DC.
由作圖可知：

DB=DO=DC，
在⊙O中，
∴OB=OD=OC，
∴△OBD和△OCD都是等邊三角形，  3分；
∴ ，   4分；
∵，，
∴，
，      5分；
∴△ABC是等邊三角形.       6分.
點評：熟知等邊三角形的定義及做法，線段的垂直平分線上的點到兩端點距離相等，兩圓相交圓心距等于一圓半徑時，兩圓心與兩圓的交點構成的四邊形是菱形。本題由一定的難度，但不大，屬于中檔題。