Question

【題目】在菱形ABCD中，∠BAD＝60°

(1) 如圖1，點(diǎn)E為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，連接DE、CE．若AB＝4，求線(xiàn)段EC的長(zhǎng)

(2) 如圖2，M為線(xiàn)段AC上一點(diǎn)（不與A、C重合），以AM為邊向上構(gòu)造等邊三角形AMN，線(xiàn)段MN與AD交于點(diǎn)G，連接NC、DM，Q為線(xiàn)段NC的中點(diǎn)，連接DQ、MQ，判斷DM與DQ的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論

(3) 在(2)的條件下，若AC＝，請(qǐng)你直接寫(xiě)出DM＋CN的最小值

Answer 1

【答案】（1）EC=2；（2）證明見(jiàn)解析；（3）2

【解析】

（1）如圖1，連接對(duì)角線(xiàn)BD，先證明△ABD是等邊三角形，根據(jù)E是AB的中點(diǎn)，由等腰三角形三線(xiàn)合一得：DE⊥AB，利用勾股定理依次求DE和EC的長(zhǎng)；

（2）如圖2，作輔助線(xiàn)，構(gòu)建全等三角形，先證明△ADH是等邊三角形，再由△AMN是等邊三角形，得條件證明△ANH≌△AMD（SAS），則HN=DM，根據(jù)DQ是△CHN的中位線(xiàn)，得HN=2DQ，由等量代換可得結(jié)論．

（3）先判斷出點(diǎn)N在CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，CN+DM最小，最小為CH，再判斷出∠ACD=30°，即可用三角函數(shù)求出結(jié)論．

(1)如圖1,連接BD,則BD平分∠ABC,

∵四邊形ABCD是菱形,

∴AD∥BC,

∴∠A+∠ABC=180,

∵∠A=60,

∴∠ABC=120,

∴ABD是等邊三角形,

∴BD=AD=4，

∵E是AB的中點(diǎn),

由勾股定理得:DE=2,

∵DC∥AB,

∴∠EDC=∠DEA=90,

在RtDEC中,

EC=2

(2)如圖2,延長(zhǎng)CD至H,使CD=DH,連接NH、AH,

∵AD=CD,

∴AD=DH,

∵CD∥AB,

∴∠HDA=∠BAD=60,

∴ADH是等邊三角形,

∴AH=AD, ∠HAD=60,

∵AMN是等邊三角形,

∴AM=AN, ∠NAM=60,

∴∠HAN=∠DAM,

∴ANH≌AMD,

∴HN=DM,

∵D是CH的中點(diǎn),Q是NC的中點(diǎn),

∴DQ是CHN的中位線(xiàn),

∴HN=2DQ,

∴DM=2DQ

(3) 如圖2，由（2）知，HN=DM，

∴要CN+DM最小，便是CN+HN最小，

即：點(diǎn)C，H，N在同一條線(xiàn)上時(shí)，CN+DM最小，

此時(shí)，點(diǎn)D和點(diǎn)Q重合，

即：CN+DM的最小值為CH，

如圖3，

由（2）知，△ADH是等邊三角形，

∴∠H=60°．

∵AC是菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，

∴∠ACD=∠BCD=∠BAD=30°，

∴∠CAH=180°-30°-60°=90°，

在Rt△ACH中，CH==2，

∴DM+CN的最小值為2．