Question

【題目】在平面直角坐標系xoy中， 一塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜邊AB在x軸上，直角頂點C在y軸正半軸上，已知點A（－1，0）．

（1）請直接寫出點B、C的坐標：B（ ， ）、C（ ， ）；并求經過A、B、C三點的拋物線解析式；

（2）現有與上述三角板完全一樣的三角板DEF（其中∠EDF=90°，∠DEF=60°），把頂點E放在線段AB上（點E是不與A、B兩點重合的動點），并使ED所在直線經過點C． 此時，EF所在直線與（1）中的拋物線交于第一象限的點M．連接MB和MC，當△OCE∽△OBC時,判斷四邊形AEMC的形狀，并給出證明；

（3）有一動點P在（1）中的拋物線上運動，是否存在點P，以點P為圓心作圓能和直線AC和x軸同時相切 ，若存在，求出圓心P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（3，0），C（0， ）過A、B、C三點的拋物線解析式為；

（2）四邊形AEMC是菱形，證明見解析；

（3）存在點P滿足條件，點P坐標為（2， ）或（6，-7）

【解析】（1）解：（1）B（3，0），C（0， ）．

∵A（—1，0）B（3，0），∴可設過A、B、C三點的拋物線為．

又∵C（0， ）在拋物線上，∴，解得．

∴經過A、B、C三點的拋物線解析式為．

（2）四邊形AEMC是菱形．

當△OCE∽△OBC時，則錯誤！未找到引用源。．

∵OC=錯誤！未找到引用源。，∴

錯誤！未找到引用源。∴OE=1．

∴E（1，0）在拋物線對稱軸上，∴△CAE為等邊三角形，∴∠AEC=∠A=60°．

又∵∠CEM=60°， ∴∠MEB=∠AEC=60°．

∴點C與點M關于拋物線的對稱軸對稱．

C（0，錯誤！未找到引用源。），∴M（2，錯誤！未找到引用源。）．

∴MC=AE=2， MC∥AE

∴四邊形AEMC是平行四邊形。

∵AC=CM=2

∴四邊形AEMC是菱形．

（3）由⊙P與直線AC和x軸同時相切易知點P在兩線夾角的平分線上，

①當在x軸上方時，∠PAO=30°，設點P坐標為（x, ）,過P作PQ⊥x軸，交點為Q，則AQ=PQ,得x+1= ()

解得，x1=2 ,x2=-1(舍去)，所以點P坐標為（2， ）

②當在x軸下方時，∠PAO=60°，設點P坐標為（x, ）,過P作PQ⊥x軸，交點為Q，則AQ=PQ,得（x+1）= -()

解得，x1=6 ,x2=-1(舍去)，所以點P坐標為（6，-7）

綜上所述，存在點P滿足條件，點P坐標為（2， ）或（6，-7）