Question

【題目】如圖1，在正方形ABCD中，O是對角線AC上一點，點E在BC的延長線上，且OE = OB．

（1）求證：△OBC ≌ △ODC．

（2）求證：∠DOE ＝ ∠ABC．

（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖2），若∠ABC ＝ 52° ，求∠DOE的度數．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析; （2）證明見解析; （3）52°．

【解析】試題分析：（1）根據正方形的四條邊都相等可得BC=DC，對角線平分一組對角可得∠BCO=∠DCO，然后利用“邊角邊”證明即可；

（2）根據全等三角形對應角相等可得∠CBO=∠CDO，根據等邊對等角可得∠CBO=∠E，然后求出∠DOE=∠DCE，再根據兩直線平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，從而得證；

（3）根據（2）的結論解答．

試題解析（1）證明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCO=∠DCO=45°，

∵在△BCO和△DCO中，

，

∴△BCO≌△DCO（SAS）；

（2）由（1）知，△BCO≌△DCO，

∴∠CBO=∠CDO，

∵OE=OB，

∴∠CBO=∠E，

∵∠1=∠2（對頂角相等），

∴180°-∠1-∠CDO=180°-∠2-∠E，

即∠DOE=∠DCE，

∵AB∥CD，

∴∠DCE=∠ABC，

∴∠DOE=∠ABC；

（3）解：與（2）同理可得：∠DOE=∠ABC，

∵∠ABC=52°，

∴∠DPE=52°．