Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC與BD相交于O點，OC=OA，若E是CD上任意一點，連接BE交AC于點F，連接DF．

（1）證明：△CBF≌△CDF；

（2）若AC=2，BD=2，求四邊形ABCD的周長。

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形ABCD的周長為8.

【解析】試題分析：（1）首先利用SSS定理證明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可證明△CBF≌△CDF．

(2) 由△CBF≌△CDF，可知，∠BCF=∠DCF，又CB=CD，得出OB=OD，∠COB=∠COD=90°，因為OC=OA，所以AC與BD互相垂直平分，即可證得四邊形ABCD是菱形，然后根據勾股定理全等AB長，進而求得四邊形的面積.

試題解析（1）證明：在△ABC和△ADC中， ，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BCA=∠DCA，

在△CBF和△ADF中， ，

∴△CBF≌△CDF（SAS）

（2）∵△CBF≌△CDF，

∴∠BCF=∠DCF，

∴OB=OD，BD⊥AC，

∵OA=OC，

∴四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，

∵AC=2，BD=2，

∴OA=，OB=1，

∴AB=，

∴四邊形ABCD的周長=4AB=4×2=8．