Question

【題目】如圖，已知拋物線（）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），與y軸交于點C，且OC=OB．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）若點E為第二象限拋物線上一動點，連接BE，CE，求四邊形BOCE面積的最大值，并求出此時點E的坐標；

（3）點P在拋物線的對稱軸上，若線段PA繞點P逆時針旋轉90°后，點A的對應點A′恰好也落在此拋物線上，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當a=時，S四邊形BOCE最大，且最大值為，此時，點E坐標為（，）；（3）P（﹣1，1）或（﹣1，﹣2）．

【解析】

試題分析：（1）將A、B兩點的坐標代入拋物線的解析式中，即可求出二次函數的解析式；

（2）過E作EF⊥x軸于F．設E（a，）（﹣3＜a＜0），則EF=，BF=a+3，OF=﹣a，∴S四邊形BOCE==BFEF+（OC+EF）OF =，配方即可得出結論，當a=時，=大，即可得到點E的坐標；

（3）由P在拋物線的對稱軸上，設出P坐標為（﹣2，m），如圖所示，過A′作A′N⊥對稱軸于N，由旋轉的性質可證明△A′NP≌△PMA，得到A′N=PM=|m|，PN=AM=2，表示出A′坐標，將A′坐標代入拋物線解析式中求出相應m的值，即可確定出P的坐標．

試題解析：（1）∵拋物線（）與x軸交于點A（1，0）和點B（﹣3，0），∴OB=3，∵OC=OB，∴OC=3，∴c=3，∴，解得：，∴所求拋物線解析式為：；

（2）如圖2，過點E作EF⊥x軸于點F，設E（a，）（﹣3＜a＜0），∴EF=，BF=a+3，OF=﹣a，∴S四邊形BOCE==BFEF+（OC+EF）OF===，∴當a=時，S四邊形BOCE最大，且最大值為．此時，點E坐標為（，）；

（3）∵拋物線的對稱軸為x=﹣1，點P在拋物線的對稱軸上，∴設P（﹣1，m），∵線段PA繞點P逆時針旋轉90°后，點A的對應點A′恰好也落在此拋物線上，如圖，∴PA=PA′，∠APA′=90°，如圖3，過A′作A′N⊥對稱軸于N，設對稱軸于x軸交于點M，∴∠NPA′+∠MPA=∠NA′P+∠NPA′=90°，∴∠NA′P=∠NPA，在△A′NP與△APM中，∵∠A′NP=∠AMP=90°，∠NA′P=∠MPA，PA′=AP，∴△A′NP≌△PMA，∴A′N=PM=|m|，PN=AM=2，∴A′（m﹣1，m+2），代入得：，解得：m=1，m=﹣2，∴P（﹣1，1），（﹣1，﹣2）．