Question

【題目】如圖所示，⊙O的內接△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=15°，AD∥OC并交BC的延長線于D點，OC交AB于E點．

（1）求∠D的度數；

（2）求證：AC2=ADCE．

Answer 1

【答案】（1）45°

（2）證明見解析

【解析】

試題分析： （1）連接OA，由圓周角∠ABC與圓心角∠AOC所對的弧為同一條弧，根據同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，由∠ABC的度數求出∠AOC的度數，再由OA=OC，根據等邊對等角，由頂角∠AOC的度數，利用三角形的內角和定理求出底角∠ACO的度數，再由∠BAC及∠ABC的度數，求出∠ACB的度數，由∠ACB﹣∠ACO求出∠BCE的度數，由OC與AD平行，根據兩直線平行同位角相等可得∠D=∠BCE，可得出∠D的度數；

（2）由∠ACB的度數，利用鄰補角定義求出∠ACD的度數，再由∠AEC為三角形BEC的外角，利用外角性質得到∠AEC=∠ABC+∠BCE，可得出∠AEC的度數，進而得到∠AEC=∠ACD，在三角形ACD中，由∠ACD及∠D的度數，求出∠CAD的度數，可得∠CAD=∠ACE，利用兩對對應角相等的三角形相似可得三角形AEC與三角形DCA相似，根據相似三角形的對應邊成比例可得證．

解：（1）連接OA，如圖所示：

∵圓周角∠ABC與圓心角∠AOC所對的弧都為 ，

∴∠AOC=2∠ABC，又∠ABC=15°，

∴∠AOC=30°，

又OA=OC，∴∠OAC=∠OCA==75°，

又∠BAC=45°，∠ABC=15°，

∴∠ACB=120°，

∴∠OCB=∠ACB﹣∠ACO=120°﹣75°=45°，

又OC∥AD，

∴∠D=∠OCB=45°；

（2）∵∠ABC=15°，∠OCB=45°，

∴∠AEC=60°，

又∠ACB=120°∴∠ACD=60°，

∴∠AEC=∠ACD=60°，

∵∠D=45°，∠ACD=60°，

∴∠CAD=75°，又∠OCA=75°，

∴∠CAD=∠OCA=75°，

∴△ACE∽△DAC，

∴=，即AC2=ADCE．