Question

【題目】如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)O．有直角∠MPN，使直角頂點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時針旋轉(zhuǎn)∠MPN，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點(diǎn)，連接EF交OB于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中正確的是 ．

（1）EF=OE；（2）S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF=OA；（4）在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時，AE=；（5）OGBD=AE2+CF2．

Answer 1

【答案】（1），（2），（3），（5）．

【解析】

試題分析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，

∴∠BOF+∠COF=90°，

∵∠EOF=90°，

∴∠BOF+∠COE=90°，

∴∠BOE=∠COF，

在△BOE和△COF中，

，

∴△BOE≌△COF（ASA），

∴OE=OF，BE=CF，

∴EF=OE；故正確；

（2）∵S四邊形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC=S正方形ABCD，

∴S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正確；

（3）∴BE+BF=BF+CF=BC=OA；故正確；

（4）過點(diǎn)O作OH⊥BC，

∵BC=1，

∴OH=BC=，

設(shè)AE=x，則BE=CF=1﹣x，BF=x，

∴S△BEF+S△COF=BEBF+CFOH=x（1﹣x）+（1﹣x）×=﹣（x﹣）2+，

∵a=﹣＜0，

∴當(dāng)x=時，S△BEF+S△COF最大；

即在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時，AE=；故錯誤；

（5）∵∠EOG=∠BOE，∠OEG=∠OBE=45°，

∴△OEG∽△OBE，

∴OE：OB=OG：OE，

∴OGOB=OE2，

∵OB=BD，OE=EF，

∴OGBD=EF2，

∵在△BEF中，EF2=BE2+BF2，

∴EF2=AE2+CF2，

∴OGBD=AE2+CF2．故正確．