Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C（0，﹣），OA=1，OB=4，直線l過點A，交y軸于點D，交拋物線于點E，且滿足tan∠OAD=．

（1）求拋物線的解析式；

（2）動點P從點B出發，沿x軸正方形以每秒2個單位長度的速度向點A運動，動點Q從點A出發，沿射線AE以每秒1個單位長度的速度向點E運動，當點P運動到點A時，點Q也停止運動，設運動時間為t秒．

①在P、Q的運動過程中，是否存在某一時刻t，使得△ADC與△PQA相似，若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

②在P、Q的運動過程中，是否存在某一時刻t，使得△APQ與△CAQ的面積之和最大？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y=；（2）①存在t=或t=，使得△ADC與△PQA相似；②當t=時，△APQ與△CAQ的面積之和最大.

【解析】（1）應用待定系數法求解析式

（2）①分別用t表示△ADC、△PQA各邊，應用分類討論相似三角形比例式，求t值；

②分別用t表示△APQ與△CAQ的面積之和，討論最大值．

（1）∵OA=1，OB=4，

∴A（1，0），B（﹣4，0），

設拋物線的解析式為y=a（x+4）（x﹣1），

∵點C（0，﹣）在拋物線上，

∴﹣，

解得a=.

∴拋物線的解析式為y=.

（2）存在t，使得△ADC與△PQA相似．

理由：①在Rt△AOC中，OA=1，OC=，

則tan∠ACO=，

∵tan∠OAD=，

∴∠OAD=∠ACO，

∵直線l的解析式為y=，

∴D（0，﹣），

∵點C（0，﹣），

∴CD=，

由AC2=OC2+OA2，得AC=，

在△AQP中，AP=AB﹣PB=5﹣2t，AQ=t，

由∠PAQ=∠ACD，要使△ADC與△PQA相似，

只需或，

則有或，

解得t1=，t2=，

∵t1＜2.5，t2＜2.5，

∴存在t=或t=，使得△ADC與△PQA相似；

②存在t，使得△APQ與△CAQ的面積之和最大，

理由：作PF⊥AQ于點F，CN⊥AQ于N，

在△APF中，PF=APsin∠PAF=，

在△AOD中，由AD2=OD2+OA2，得AD=，

在△ADC中，由S△ADC= ，

∴CN=，

∴S△AQP+S△AQC= ，

∴當t=時，△APQ與△CAQ的面積之和最大.