Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣ x2+bx+c與坐標軸分別交于點A（0，8）、B（8，0）和點E，動點C從原點O開始沿OA方向以每秒1個單位長度移動，動點D從點B開始沿BO方向以每秒1個單位長度移動，動點C，D同時出發，當動點D到達原點O時，點C，D停止運動．

（1）直接寫出拋物線的解析式：；
（2）求△CED的面積S與D點運動時間t的函數解析式；當t為何值時，△CED的面積最大？最大面積是多少？
（3）當△CED的面積最大時，在拋物線上是否存在點P（點E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）y=﹣ x2+3x+8
（2）

解：∵點A（0，8）、B（8，0），

∴OA=8，OB=8，

令y=0，得：﹣ x2+3x+8=0，

解得：x1=8，x2=﹣2，

∵點E在x軸的負半軸上，

∴點E（﹣2，0），

∴OE=2，

根據題意得：當D點運動t秒時，BD=t，OC=t，

∴OD=8﹣t，

∴DE=OE+OD=10﹣t，

∴S= DEOC= （10﹣t）t=﹣ t2+5t，

即S=﹣ t2+5t=﹣ （t﹣5）2+ ，

∴當t=5時，S最大=

（3）

解：方法一：

由（2）知：當t=5時，S最大= ，

∴當t=5時，OC=5，OD=3，

∴C（0，5），D（3，0），

由勾股定理得：CD= ，

設直線CD的解析式為：y=kx+b，

將C（0，5），D（3，0），代入上式得：

k=﹣ ，b=5，

∴直線CD的解析式為：y=﹣ x+5，

過E點作EF∥CD，交拋物線與點P，如圖1，

設直線EF的解析式為：y=﹣ x+b，

將E（﹣2，0）代入得：b=﹣ ，

∴直線EF的解析式為：y=﹣ x﹣ ，

將y=﹣ x﹣ ，與y=﹣ x2+3x+8聯立成方程組得：

，

解得： ， ，

∴P（ ，﹣ ）；

過點E作EG⊥CD，垂足為G，

∵當t=5時，S△ECD= = ，

∴EG= ，

過點D作DN⊥CD，垂足為N，且使DN= ，過點N作NM⊥x軸，垂足為M，如圖2，

可得△EGD∽△DMN，

∴ ，

即： ，

解得：DM= ，

∴OM= ，

由勾股定理得：MN= = ，

∴N（ ， ），

過點N作NH∥CD，與拋物線交與點P，如圖2，

設直線NH的解析式為：y=﹣ x+b，

將N（ ， ），代入上式得：b= ，

∴直線NH的解析式為：y=﹣ x+ ，

將y=﹣ x+ ，與y=﹣ x2+3x+8聯立成方程組得：

，

解得： ， ，

∴P（8，0）或P（ ， ），

綜上所述：當△CED的面積最大時，在拋物線上存在點P（點E除外），使△PCD的面積等于△CED的最大面積，點P的坐標為：P（ ，﹣ ）或P（8，0）或P（ ， ）．

方法二：

由（2）知，C（0，5），D（3，0），∴lCD：y=﹣ x+5，

作PH⊥x軸，交CD于點H，

∵P在拋物線上，∴設P（6m，﹣18m2+18m+8），

∴H（6m，﹣10m+5），C（0，5），D（3，0），

S△PCD= |（DX﹣CX）（PY﹣HY）|，

∵S△CED= ，

∴ ，

∴3×|18m2﹣28m﹣3|=25，

①3×（18m2﹣28m﹣3）=25，

∴m1=﹣ ，m2= ，

∴6m1=﹣2（舍），6m2= ，

②3×（18m2﹣28m﹣3）=﹣25，

∴m1= ，m2= ，

∴6m1=8，6m2= ，

綜上所述，點P的坐標為：P（ ，﹣ ）或P（8，0）或P（ ， ）

【解析】解：（1）將點A（0，8）、B（8，0）代入拋物線y=﹣ x2+bx+c得： ，
解得：b=3，c=8，
∴拋物線的解析式為：y=﹣ x2+3x+8，
所以答案是：y=﹣ x2+3x+8；
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．