Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象與反比例函數(shù)y=

a+4

x

的圖象交于A（a，-3），與y軸交于點B．
（1）試確定反比例函數(shù)的解析式；
（2）若∠ABO=135°，試確定二次函數(shù)的解析式；
（3）在（2）的條件下，將二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象先沿x軸翻折，再向右平移到與反比例函數(shù)y=

a+4

x

的圖象交于點P（x₀，6）．當x₀≤x≤3時，求平移后的二次函數(shù)y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把點A的坐標代入反比例函數(shù)解析式，然后解方程求出a的值，代入反比例函數(shù)解析式整理即可；
（2）過點A作AC⊥y軸于C，根據∠ABO=135°求出∠ABC=45°，再根據等角對等邊的性質得到BC=AC=1，然后求出OB的長度，從而可得點B的坐標，再把點A的坐標代入二次函數(shù)解析式求出b的值，從而得到二次函數(shù)的解析式；
（3）先求出翻折平移后的二次函數(shù)解析式，再把點P的坐標代入反比例函數(shù)解析式求出點P的坐標，然后把點P的坐標代入并求出二次函數(shù)解析式，然后根據二次函數(shù)圖象的增減性分段求出y的取值范圍，從而得解．

解答：解：（1）∵A（a，-3）在y=

a+4

x

的圖象上，
∴

a+4

a

=-3，
解得a=-1，
∴y=

-1+4

x

=

3

x

，
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

3

x

；

（2）過A作AC⊥y軸于C．
∵A（-1，-3），
∴AC=1，OC=3，
∵∠ABO=135°，
∴∠ABC=45°，
可得BC=AC=1，
∴OB=2，
∴B（0，-2），
由拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于B，得c=-2．
∵a=-1，
∴y=-x²+bx-2，
∵拋物線過A（-1，-3），
∴-1-b-2=-3，
∴b=0，
∴二次函數(shù)的解析式為y=-x²-2；

（3）將y=-x²-2的圖象沿x軸翻折，得到二次函數(shù)解析式為y=x²+2，
設將y=x²+2的圖象向右平移后的二次函數(shù)解析式為y=（x-m）²+2（m＞0），
∵點P（x₀，6）在函數(shù)y=

3

x

上，
∴6=

3

x0

，
解得x₀=

1

2

，
∴y=（x-m）²+2的圖象過點P（

1

2

，6），
∴（

1

2

-m）²+2=6，
解得m₁=

5

2

，m₂=-

3

2

，（不合題意，舍去），
∴平移后的二次函數(shù)解析式為y=（x-

5

2

）²+2，
∵a=1＞0，
∴①當

1

2

≤x≤

5

2

時，2≤y≤6，
②當

5

2

＜x≤3時，2＜y≤

9

4

，
∴當

1

2

≤x≤3時，2≤y≤6，
∴平移后的二次函數(shù)y的取值范圍為 2≤y≤6．

點評：本題是對反比例函數(shù)的綜合考查，主要有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質，函數(shù)圖象的平移，以及二次函數(shù)圖象的增減性，綜合性較強，難度較大，特別是第（3）小題，求出點P的坐標是解題的關鍵．