Question

【題目】如圖，拋物線與y軸交于點C(0，-4)，與x軸交于點A、B，且B點的坐標為(2，0)．

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點P是AB上的一個動點，過點P作PE∥AC交BC于點E，連接CP，求△PCE面積最大時P點的坐標；

(3)在(2)的條件下，若點D為OA的中點，點M是線段AC上一點，當△OMD為等腰三角形時，連接MP、ME，把△MPE沿著PE翻折，點M的對應點為點N，直接寫出點N的坐標.

Answer 1

【答案】(1)拋物線的解析式為y=4；

(2) 當P點的坐標為(-1，0)時, S△PCE的最大，且最大值為3；

(3) M點關于PE的對稱點N的坐標為(1，1)或(2，0).

【解析】（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）首先求出△PCE面積的表達式，然后利用二次函數的性質求出其最大值；（3）△OMD為等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論．

解：（1）把點C（0，﹣4），B（2，0）分別代入y=x2+bx+c中，

得，

解得

∴該拋物線的解析式為y=x2+x﹣4．

（2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，

∴A（﹣4，0），S△ABC=ABOC=12．

設P點坐標為（x，0），則PB=2﹣x．

∵PE∥AC，

∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，

∴△PBE∽△ABC，

∴，即，

化簡得：S△PBE=（2﹣x）2．

S△PCE=S△PCB﹣S△PBE=PBOC﹣S△PBE=×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2

=x2﹣x+

=（x+1）2+3

∴當x=﹣1時，S△PCE的最大值為3．

（3）△OMD為等腰三角形，可能有三種情形：（I）當DM=DO時，如答圖①所示．

DO=DM=DA=2，

∴∠OAC=∠AMD=45°，

∴∠ADM=90°，

∴M點的坐標為（﹣2，﹣2）；

（II）當MD=MO時，如答圖②所示．

過點M作MN⊥OD于點N，則點N為OD的中點，

∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，

又△AMN為等腰直角三角形，∴MN=AN=3，

∴M點的坐標為（﹣1，﹣3）；

（III）當OD=OM時，

∵△OAC為等腰直角三角形，

∴點O到AC的距離為×4=，即AC上的點與點O之間的最小距離為．

∵＞2，∴OD=OM的情況不存在．

綜上所述，點M的坐標為（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．

“點睛”本題是二次函數綜合題，考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法、相似三角形、等腰三角形等知識點，以及分類討論的數學思想．第（2）問將面積的最值轉化為二次函數的極值問題，注意其中求面積表達式的方法；第（3）問重在考查分類討論的數學思想，注意三種可能的情形需要一一分析，不能遺漏．