Question

【題目】如圖，已知△ABC中,AB=AC，利用直尺和圓規，根據下列要求作圖（保留作圖痕跡，不要求寫作法），并根據要求填空：

（1）作∠B的平分線BD，交AC于點D；

（2）作線段AB的垂直平分線EF，交AB于點E，交AC于點F；

（3）如果點F與點D重合，則∠A= °．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）36°

【解析】

（1）以B為圓心，以任意長度為半徑作弧，分別交AB、BC與M、N，分別以M、N為圓心，以大于MN為半徑作弧，連接B和兩弧的交點并延長交AC于D，BD即為所求；

（2）分別以A、B為圓心，以大于AB為半徑作弧，連接兩弧的兩個交點交AB于E，交AC于F，EF即為所求；

（3）根據等邊對等角可得：∠ABC=∠ACB，再根據角平分線的定義可得：∠ABC=2∠ABF，然后根據垂直平分線的性質和等邊對等角可得：∠FBA=∠A，從而得出∠ACB=∠ABC=2∠A，最后根據三角形的內角和定理列方程即可求出∠A.

解：（1）以B為圓心，以任意長度為半徑作弧，分別交AB、BC與M、N，分別以M、N為圓心，以大于MN為半徑作弧，連接B和兩弧的交點并延長交AC于D，如下圖所示，BD即為所求；

（2）分別以A、B為圓心，以大于AB為半徑作弧，連接兩弧的兩個交點交AB于E，交AC于F，如下圖所示EF即為所求；

（3）當F、D重合時，如下圖所示，

∵AB=AC

∴∠ABC=∠ACB

∵BF平分∠ABC

∴∠ABC=2∠ABF

∵EF垂直平分AB

∴FB=FA

∴∠FBA=∠A

∴∠ACB=∠ABC=2∠A

∵∠ACB+∠ABC+∠A=180°

∴2∠A+2∠A+∠A=180°

解得：∠A=36°