Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形OABC的頂點B（6，8），動點M，N同時從O點出發，點M沿射線OA方向以每秒1個單位的速度運動，點N沿線段OB方向以每秒0.6個單位的速度運動，當點N到達點B時，點M，N同時停止運動，連接MN，設運動時間為t（秒）．

（1）求證△ONM～△OAB；

（2）當點M是運動到點時，若雙曲線的圖象恰好過點N，試求k的值；

（3）△MNB與△OAB能否相似？若能試求出所有t的值，若不能請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）k＝12；（3）能，t＝6s或s時，△BMN與△AOB相似．

【解析】

（1）用含t的式子表示OM，ON，可證得，即可解決問題；

（2）根據M點坐標可求得運動時間，進而求得N點坐標，再利用待定系數法求解析式即可解決問題；

（3）分兩種情形解決）①當點M與點A重合時，△BNM∽△BAO，此時求得t．②當OM＝BM時，△MBN∽△BOA，此時點M在線段OB 的垂直平分線上，可求得此時t值

解：（1）證明：由題意：OA＝6，AB＝8，OB＝10，OM＝t，ON＝0.6t，

∴，

∵∠MON＝∠AOB，

∴△ONM∽△OAB．

（2）當OM＝時，ON＝5，

∴ON＝NB，

∴N（3，4），

∵雙曲線的圖象恰好過點N，

∴k＝12．

（3）①當點M與點A重合時，△BNM∽△BAO，此時t＝6s．

②當OM＝BM時，∠MBN＝∠AOB，∵∠OAB＝∠MNB＝90°，

∴△MBN∽△BOA，

此時點M在線段OB 的垂直平分線上，

由（2）可知，此時OM＝，t＝s，

綜上所述，當t＝6s或s時，△BMN與△AOB相似．