Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠B＝60°，點M從點B出發沿射線BC方向，在射線BC上運動．在點M運動的過程中，連結AM，并以AM為邊在射線BC上方，作等邊△AMN，連結CN．

（1）當∠BAM＝　 　°時，AB＝2BM；

（2）請添加一個條件：　 　，使得△ABC為等邊三角形；

①如圖1，當△ABC為等邊三角形時，求證：CN+CM＝AC；

②如圖2，當點M運動到線段BC之外（即點M在線段BC的延長線上時），其它條件不變（△ABC仍為等邊三角形），請寫出此時線段CN、CM、AC滿足的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）30；（2）AB＝AC；①證明見解析；②CN-CM=AC，理由見解析

【解析】

（1）根據含30°角的直角三角形的性質解答即可；

（2）利用含一個60°角的等腰三角形是等邊三角形的判定解答；①利用等邊三角形的性質和全等三角形的判定證明△BAM≌△CAN，從而利用全等三角形的性質求解；②利用等邊三角形的性質和全等三角形的判定證明△BAM≌△CAN，從而利用全等三角形的性質求解．

解：（1）當∠BAM＝30°時，

∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，

∴AB＝2BM；

故答案為：30；

（2）∵在△ABC中，∠B=60°

∴當AB=AC時，可得可得△ABC為等邊三角形；

故答案為：AB＝AC；

①如圖1中，

∵△ABC與△AMN是等邊三角形，

∴AB＝AC=BC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，

即∠BAM＝∠CAN，

在△BAM與△CAN中， ，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴BM＝CN；

∴AC=BC=BM+CM=CM+CN

即CN+CM＝AC；

②CN-CM=AC，

理由：如圖2中，

∵△ABC與△AMN是等邊三角形，

∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，

∴∠BAC+∠MAC＝∠MAN+∠MAC，

即∠BAM＝∠CAN，

在△BAM與△CAN中， ，

∴△BAM≌△CAN（SAS），

∴BM＝CN

∴AC=BC=BM-CM=CN-CM

即CN-CM=AC