Question

【題目】新定義函數：在y關于x的函數中，若0≤x≤1時，函數y有最大值和最小值，分別記ymax和ymin，且滿足，則我們稱函數y為“三角形函數”．

（1）若函數y=x+a為“三角形函數”，求a的取值范圍；

（2）判斷函數y=x2﹣x+1是否為“三角形函數”，并說明理由；

（3）已知函數y=x2﹣2mx+1，若對于0≤x≤1上的任意三個實數a，b，c所對應的三個函數值都能構成一個三角形的三邊長，則求滿足條件的m的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) a＞1(2)是(3)0<m 或<m<

【解析】試題分析：（1）由函數的性質可求得其最大值和最小值，由三角形函數的定義可得到關于a的不等式組，可求得a的取值范圍；
（2）由拋物線解析式可求得其對稱軸，由x的范圍可求得其最大值和最小值，滿足三角形函數的定義；
（3）由三角形的三邊關系可判斷函數y=x2-2mx+1為三角形函數，再利用三角形函數的定義分別得到關于m的不等式組，即可求得m所滿足的不等式，可求得m的取值范圍．

試題解析：（1）∵當x=0，ymin=a；x=1，ymax=1+a，

∵y=x+a為三角形函數，

∴，

∴a＞1；

（2）是三角形函數，理由如下：

∵對稱軸為直線，0≤x≤1，

∴當，

∴，

∴它是三角形函數；

（3）∵對于0≤x≤1上的任意三個實數a，b，c所對應的三個函數值都能構成一個三角形的三邊長，

∴，若a為最小，c為最大，則有，同理當b為最小，c為最大時也可得，

∴y=x2﹣2mx+1是三角形函數，

∵y=x2﹣2mx+1=（x﹣m）2﹣m2+1，

∴對稱軸為直線x=m，

①當m≤0時，當x=0，ymin=1，

當x=1，ymax=﹣2m+2，則2＞﹣2m+2，解得m＞0，

∴無解；

②當，，當x=1，ymax=﹣2m+2，，

解得0＜m＜1，

∴；

③當，，當x=0，ymax=1，則，

解得，

∴；

④當m＞1，當x=1，ymin=﹣2m+2，x=0，ymax=1，則，

解得，

∴無解；

綜上述可知m的取值范圍為或．