Question

【題目】如圖，在矩形OABC中，點A、C的坐標分別為（10，0），（0，2），點D是線段BC上的動點（與端點B、C不重合），過點D作直線y=﹣x+m交線段OA于點E．

（1）矩形OABC的周長是 ；

（2）連結OD，當OD=DE時，求m的值；

（3）若矩形OABC關于直線DE的對稱圖形為四邊形O1A1B1C1，試探究四邊形O1A1B1C1與矩形OABC重疊部分的面積是否會隨著E點位置的變化而變化，若不變，求出該重疊部分的面積；若改變，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）24；（2）m=4；（3）矩形O1A1B1C1與矩形OABC重疊部分的面積不會隨著點E位置的變化而變化，且面積始終為5．

【解析】

試題分析：（1）根據點A、C的坐標可得出線段OA、OC的長，再根據矩形的周長公式即可得出結論；

（2）根據直線DE的解析式可得出點D、E的坐標，再根據等腰三角形的性質可得出OE=2CD，從而得出關于m的一元一次方程，解方程即可得出結論；

（3）設O1A1與CB相交于點M，OA與C1B1相交于點N，過點D作DH⊥OA于點H，由此得出矩形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積．

根據對稱的性質可得出四邊形DNEM為平行四邊形，再根據平行線的性質可找出∠MED=∠MDE，從而得出四邊形DNEM為菱形，設該菱形的邊長為a，通過在RT△DHN中利用勾股定理求出a的值，再根據菱形的面積公式求出S菱形DNEM為定值即可得出結論．

解：（1）∵在矩形OABC中，點A、C的坐標分別為（10，0），（0，2），

∴AB=OC=2，BC=OA=10，

∴C矩形OABC=（OC+OA）×2=24．

故答案為：24．

（2）令y=﹣x+m中y=0，則﹣x+m=0，

解得：x=2m，即點E（2m，0）；

令y=﹣x+m中y=2，則﹣x+m=2，

解得：x=2m﹣4，即點D（2m﹣4，2）．

∵OD=DE，四邊形OABC為矩形，

∴OE=2CD，即2m=2×（2m﹣4），

解得：m=4．

（3）設O1A1與CB相交于點M，OA與C1B1相交于點N，過點D作DH⊥OA于點H，如圖所示．

矩形O1A1B1C1與矩形OABC的重疊部分的面積即為四邊形DNEM的面積．

由題意知：DM∥NE，DN∥ME，

∴四邊形DNEM為平行四邊形．

根據軸對稱知，∠MED=∠NED，

∵DM∥NE，

∴∠MDE=∠NED，

∴∠MED=∠MDE，

∴MD=ME，

∴平行四邊形DNEM為菱形．

∵OC=2，

∴DH=2，

∵直線DE的解析式為y=﹣x+m，

∴HE=2DH=4．

設菱形DNEM 的邊長為a，

∴HN=HE﹣NE=OE﹣OH﹣NE=4﹣a，

在RT△DHN中，（4﹣a）2+22=a2，

解得：a=，

∴S菱形DNEM=NEDH=5，

∴矩形O1A1B1C1與矩形OABC重疊部分的面積不會隨著點E位置的變化而變化，且面積始終為5．