Question

【題目】在正方形ABCD中，點E，F分別在邊BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．

（1）將△ADF繞著點A順時針旋轉90°，得到△ABG（如圖①），求證：△AEG≌△AEF；

（2）若直線EF與AB，AD的延長線分別交于點M，N（如圖②），求證：；

（3）將正方形改為長與寬不相等的矩形，若其余條件不變（如圖③），請你直接寫出線段EF，BE，DF之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）證明見試題解析；（2）證明見試題解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由旋轉的性質可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，即可得到△AEG≌△AEF；

（2）將△ADF繞著點A順時針旋轉90°，得到△ABG，連結GM．由（1）知△AEG≌△AEF，則有EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，再證明∠GME=90°，MG=NF，由勾股定理得到，等量代換即可得到；

（3）延長EF交AB延長線于M點，交AD延長線于N點，將△ADF繞著點A順時針旋轉90°，得到△AGH，連結HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，得到EF=HE，DF=GH，BE=BM，由（2）知HM⊥ME，得到，，，從而得到結論．

試題解析：（1）∵△ADF繞著點A順時針旋轉90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE與△AFE中，∵AG=AF，∠GAE=∠FAE=45°，AE=AE，∴△AGE≌△AFE（SAS）；

（2）設正方形ABCD的邊長為a．將△ADF繞著點A順時針旋轉90°，得到△ABG，連結GM．則△ADF≌△ABG，DF=BG，由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF，∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均為等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴；

（3）．證明如下：

如圖3所示，延長EF交AB延長線于M點，交AD延長線于N點，將△ADF繞著點A順時針旋轉90°，得到△AGH，連結HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，∴EF=HE，DF=GH，BE=BM，由（2）知HM⊥ME，∴，，，∴．