Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系xOy中，點A（ ，0），B（3 ，0），以AB為直徑的⊙G交y軸于C，D兩點.

（1）填空：請直接寫出⊙G的半徑r，圓心G的坐標：r=；G（ ， ）.
（2）如圖2，直線y= 與x、y軸分別交于F、E兩點，且經過圓上一點T（ ，m），求證：直線EF是⊙G的切線；
（3）在（2）的條件下，如圖3，點M是⊙G優弧 上的一個動點（不包括A、T兩點），連接AT、CM、TM，CM交AT于點N，試問，是否存在一個常數k，始終滿足CN·CM=k？如果存在，請求出k的值，如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）；；0
（2）

解：如圖，連接GT，過點T作TH⊥x軸于點H，直線y= 與x、y軸交于E、F兩點，則易知：E（0,5），F（5 ，0），

∵直線EF：y= 過點T（2 ，m），則

m= +5=3，∴T（2 ，3），

故TH=3，GH= ，HF=3 ，

在Rt△GHT中，有GT=r=2 ，

∴GH= GT，∴∠GTH=30°，

在在Rt△THF中，有tan∠FTH= = ，∴∠FTH=60°，

故∠GTF=∠GTH+∠FTH=30°+60°=90°，∴GT⊥EF，

∴直線EF是⊙G的切線.

（3）

解：存在.如圖，連接 CG、CT、GT，在Rt△COG中，

在Rt△COG中，OG= ，CG=r=2 ，

∴OC=3，∠CGO=60°，

由于C（0,3），T（2 ，3），故CT//x軸，

∴CT=2 ,

即CT=CG=GT=2 ，

∴△CGT是等邊三角形，

∴∠CGT=∠TCG=∠CGA=60°，

∴∠CTA= ∠CGA=30°.

∴∠CTA=∠CMT，

在△CNT和△CTM中，∠TCA=∠MCT，∠CTN=∠CMT，

∴△CNT~△CTM，

∴ ，

∴CN·CM=CT2=（2 ）2=12，

故存在一個常數12，始終范圍CN·CM=12，即：k=12.

【解析】解：（1）∵A（ ，0），B（3 ，0），
∴AB=3 -（ ）=4 ；
則r= AB= ，OG= - = ，則G（ ，0）.
【考點精析】本題主要考查了圓的定義和圓心角、弧、弦的關系的相關知識點，需要掌握平面上到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓．定點稱為圓心，定長稱為半徑；在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半才能正確解答此題．