Question

【題目】如圖，已知⊙O的直徑AB=12，弦AC=10，D是 的中點，過點D作DE⊥AC，交AC的延長線于點E.
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）求AE的長.

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵D為 的中點，

∴ = ，

∴∠BOD=∠BAE，

∴OD∥AE，

∵DE⊥AC，

∴∠ADE=90°，

∴∠AED=90°，

∴OD⊥DE，

則DE為圓O的切線；

（2）解：過點O作OF⊥AC，

∵AC=10，

∴AF=CF= AC=5，

∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，

∴四邊形OFED為矩形，

∴FE=OD= AB，

∵AB=12，

∴FE=6，

則AE=AF+FE=5+6=11.

【解析】（1）連接OD，由D為弧BC的中點，得到兩條弧相等，進而得到兩個同位角相等，確定出OD與AE平行，利用兩直線平行同旁內角互補得到OD與DE垂直，即可得證；（2）過O作OF垂直于AC，利用垂徑定理得到F為AC中點，再由四邊形OFED為矩形，求出FE的長，由AF+EF求出AE的長即可.
【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念和垂徑定理，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧即可以解答此題．